Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
, definida por
. A tarefa é achar as dimensões e bases do núcleo (onde
) e da imagem (conjunto de valores possíveis). Vamos usar conceitos de funcional linear e o Teorema da Dimensão (nulidade + posto = dimensão do domínio).
Passo 2
Note que
é não trivial porque, por exemplo,
. Então
é sobrejetora em
, o que implica que
Passo 3
Pelo Teorema da dimensão (rank–nullity), como o espaço domínio
tem dimensão 9, temos
Passo 4
Para construir uma base de
, lembramos que
, ou seja,
. Usamos a base canônica
de matrizes com 1 na posição
e zero no restante. Observamos que todos os
com
satisfazem
(são 6 matrizes), e entre as diagonais podemos tomar duas diferenças independentes para zerar a soma dos elementos diagonais.
Passo 5
Logo, uma base conveniente para
é
E uma base para
é apenas
, pois todo valor real pode ser obtido como traço de alguma matriz.
Passo 6
Pronto! Achamos dimensões e bases tanto do núcleo quanto da imagem de
.