Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon M3times3( R)to R, definida por T(A)=trA. A tarefa é achar as dimensões e bases do núcleo (onde T(A)=0) e da imagem (conjunto de valores possíveis). Vamos usar conceitos de funcional linear e o Teorema da Dimensão (nulidade + posto = dimensão do domínio).

Passo 2

Note que T é não trivial porque, por exemplo, T(E11)=1. Então T é sobrejetora em R, o que implica que
diml(ImTr)=1

Passo 3

Pelo Teorema da dimensão (rank–nullity), como o espaço domínio M3times3( R) tem dimensão 9, temos
dimker T=9-dimImT=9-1=8

Passo 4

Para construir uma base de ker T, lembramos que ker T=A:trA=0, ou seja, a11+a22+a33=0. Usamos a base canônica Eij de matrizes com 1 na posição (i,j) e zero no restante. Observamos que todos os Eij com ineq j satisfazem trEij=0 (são 6 matrizes), e entre as diagonais podemos tomar duas diferenças independentes para zerar a soma dos elementos diagonais.

Passo 5

Logo, uma base conveniente para ker T é
Eij:ineq jcupE11-E33,,E22-E33
E uma base para ImT= R é apenas 1, pois todo valor real pode ser obtido como traço de alguma matriz.

Passo 6

Pronto! Achamos dimensões e bases tanto do núcleo quanto da imagem de T.

Resposta

dimker T=8, base Eij:ineq jcupE11-E33,E22-E33.
dimImT=1, base 1.

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