Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:

Passo 1

A transformação linear é definida em M4times4(R) por T(A)=A^t. Vamos usar as definições de núcleo e de imagem de uma transformação linear para encontrar dimensões e bases.

Passo 2

O núcleo é dado por ker T=Ain M4times4(R)mid T(A)=0. Ou seja, A^t=0 implica que todos os elementos de A são zero. Logo, ker T=0.
Como o único elemento de ker T é a matriz zero, temos dim(ker T)=0 e a base do núcleo é o conjunto vazio.

Passo 3

A imagem é Im,T=A^tmid Ain M4times4(R). Para qualquer Bin M4times4(R), basta escolher A=B^t para ter T(A)=B. Assim, T é sobrejetora e Im,T=M4times4(R).
Como Im,T=M4times4(R), sua dimensão é 16. Uma base padrão é Eijmid 1<= i,j<=4, onde Eij tem 1 na posição (i,j) e zeros nos demais lugares.

Resposta

dim(ker T)=0, base de ker T= emptyset; dim(Im,T)=16, Im,T=M4times4(R), base= Eijmid 1<= i,j<=4.

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