Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo:
Passo 1
A transformação linear é definida em
por
. Vamos usar as definições de núcleo e de imagem de uma transformação linear para encontrar dimensões e bases.
Passo 2
O núcleo é dado por
. Ou seja,
implica que todos os elementos de
são zero. Logo,
.
Como o único elemento de é a matriz zero, temos
e a base do núcleo é o conjunto vazio.
Como o único elemento de
Passo 3
A imagem é
. Para qualquer
, basta escolher
para ter
. Assim,
é sobrejetora e
.
Como , sua dimensão é 16. Uma base padrão é
, onde
tem 1 na posição
e zeros nos demais lugares.
Como