5 Encontre todos os subespaços invariantes de cc2 & -5 1 & -2, encarado como um operador no R^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos encontrar todos os subespaços invariantes de
A = 2 & -51 & -2
como operador em R^2. Vamos usar a ideia de autovalores e autovetores para achar possíveis subespaços invariantes.

Passo 2

Definição e estratégia: Um subespaço W é invariante por A quando A(W)subseteq W. Em R^2, além dos subespaços trivial ({0}) e total ( R^2), as únicas possibilidades próprias são retas geradas por autovetores de A.

Passo 3

Cálculo do polinômio característico:
det(A-lambda I) =det2-lambda & -51 & -2-lambda =(2-lambda)(-2-lambda)-(-5)cdot1 =lambda^2+1

Passo 4

Encontrando os autovalores: Resolvendo
R
obtemos

que não pertencem a . Logo, não há autovetores reais.

Passo 5

Conclusão sobre subespaços de dimensão 1: Como não existem autovetores reais, não há retas invariantes próprias em R^2. Portanto, os únicos subespaços invariantes são os triviais.

Resposta

Os únicos subespaços invariantes de A em R^2 são o subespaço nulo 0 e o próprio espaço R^2.

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