5 Encontre todos os subespaços invariantes de
, encarado como um operador no
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos encontrar todos os subespaços invariantes de
A =
como operador em . Vamos usar a ideia de autovalores e autovetores para achar possíveis subespaços invariantes.
A =
como operador em
Passo 2
Definição e estratégia: Um subespaço
é invariante por
quando
. Em
, além dos subespaços trivial ({0}) e total (
), as únicas possibilidades próprias são retas geradas por autovetores de
.
Passo 3
Cálculo do polinômio característico:
Passo 4
Encontrando os autovalores: Resolvendo
obtemos
que não pertencem a . Logo, não há autovetores reais.
obtemos
que não pertencem a
Passo 5
Conclusão sobre subespaços de dimensão 1: Como não existem autovetores reais, não há retas invariantes próprias em
. Portanto, os únicos subespaços invariantes são os triviais.
Resposta
Os únicos subespaços invariantes de
em
são o subespaço nulo
e o próprio espaço
.