6 Seja . Suponha que para , mas . Demonstre:
(i) O conjunto é linearmente independente.
(ii) O subespaço gerado por é -invariante.
(iii) A restrição é nilpotente de índice .
(iv) Em relação à base de , a matriz de é da forma . Portanto a matriz quadrada acima é nilpotente de índice .
Passo 1
O enunciado pede para o operador linear T:Vto V e um vetor v tais que T^k(v)=0 e T^k-1(v)neq0. Precisamos usar conceitos de independência linear, subespaços invariantes, operadores nilpotentes e representação matricial em base adequada.
Passo 2
Para (i), suponha que exista uma combinação linear não trivial
a0v + a1T(v) + cdots + ak-1T^k-1(v) = 0
Aplicando T^k-1 nessa igualdade, todos os termos exceto a0T^k-1(v) viram zero, logo a0T^k-1(v)=0. Como T^k-1(v)neq0, concluímos a0=0. Repetindo o processo aplicando T^k-2,T^k-3,dots sucessivamente, obtemos a1=0,a2=0,dots,ak-1=0. Portanto S=v,T(v),dots,T^k-1(v) é linearmente independente.
Passo 3
Para (ii), seja W=span S. Tomando w=sumi=0^k-1biT^i(v)in W, temos
T(w)=sumi=0^k-1biT^i+1(v)
Como T^k(v)=0, cada T^i+1(v) com i+1<= k-1 está em W, e o termo i=k-1 é zero. Logo T(w)in W, isto é, W é T-invariante.
Passo 4
Para (iii), basta notar que a restrição hat T=T|W satisfaz
hat T^k(v)=T^k(v)=0,
mas
hat T^k-1(v)=T^k-1(v)neq0
Logo hat T é nilpotente de índice exatamente k.
Passo 5
Para (iv), escolhemos a base de W
B=T^k-1(v),T^k-2(v),dots,T(v),v
Em luz disso, para cada vetor da base
Tl(T^i(v)r)=T^i+1(v),
que corresponde a enviar o j-ésimo vetor de B no (j-1)-ésimo, com exceção de T^k(v)=0. Assim a matriz de T em B é aquela matriz ktimes k com 1 na superdiagonal imediata e zeros em todo o resto, ou seja, o bloco de Jordan nilpotente de tamanho k.
Resposta
Em relação à base T^k-1(v),dots,T(v),v, a matriz de T é o bloco de Jordan nilpotente