6 Seja T in L(V). Suponha que para v in V temos T^k(v)=0, mas T^k-1(v) neq 0. Demonstre:
(i) O conjunto W é linearmente independente.
(ii) O subespaço S gerado por T é T=Tmid W-invariante.
(iii) A restrição k é nilpotente de índice W.
(iv) Em relação à base T de cccccc0 & 1 & 0 & ldots & 0 & 0 0 & 0 & 1 & ldots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & ldots & 0 & 1 0 & 0 & 0 & ldots & 0 & 0, a matriz de k times k é da forma k. Portanto a matriz quadrada acima é nilpotente de índice .

Passo 1

O enunciado pede para o operador linear T:Vto V e um vetor v tais que T^k(v)=0 e T^k-1(v)neq0. Precisamos usar conceitos de independência linear, subespaços invariantes, operadores nilpotentes e representação matricial em base adequada.

Passo 2

Para (i), suponha que exista uma combinação linear não trivial
a0v + a1T(v) + cdots + ak-1T^k-1(v) = 0
Aplicando T^k-1 nessa igualdade, todos os termos exceto a0T^k-1(v) viram zero, logo a0T^k-1(v)=0. Como T^k-1(v)neq0, concluímos a0=0. Repetindo o processo aplicando T^k-2,T^k-3,dots sucessivamente, obtemos a1=0,a2=0,dots,ak-1=0. Portanto S=v,T(v),dots,T^k-1(v) é linearmente independente.

Passo 3

Para (ii), seja W=span S. Tomando w=sumi=0^k-1biT^i(v)in W, temos
T(w)=sumi=0^k-1biT^i+1(v)
Como T^k(v)=0, cada T^i+1(v) com i+1<= k-1 está em W, e o termo i=k-1 é zero. Logo T(w)in W, isto é, W é T-invariante.

Passo 4

Para (iii), basta notar que a restrição hat T=T|W satisfaz
hat T^k(v)=T^k(v)=0,
mas
hat T^k-1(v)=T^k-1(v)neq0
Logo hat T é nilpotente de índice exatamente k.

Passo 5

Para (iv), escolhemos a base de W
B=T^k-1(v),T^k-2(v),dots,T(v),v
Em luz disso, para cada vetor da base
Tl(T^i(v)r)=T^i+1(v),
que corresponde a enviar o j-ésimo vetor de B no (j-1)-ésimo, com exceção de T^k(v)=0. Assim a matriz de T em B é aquela matriz ktimes k com 1 na superdiagonal imediata e zeros em todo o resto, ou seja, o bloco de Jordan nilpotente de tamanho k.

Resposta

Em relação à base T^k-1(v),dots,T(v),v, a matriz de T é o bloco de Jordan nilpotente
0&1&0&cdots&0 0&0&1&cdots&0 vdots&vdots&vdots&ddots&1 0&0&0&cdots&0 ,
e portanto é nilpotente de índice k.

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