Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar a dimensão e bases do núcleo (null space) e da imagem (column space) da aplicação linear cuja matriz canônica é
O conteúdo principal aqui é entender núcleo como solução de e imagem como o espaço gerado pelas colunas de . Vamos usar eliminação para descobrir pivôs e depois aplicar rank–nullity.
Passo 2
Para encontrar os pivôs, aplicamos eliminação de Gauss em :
Aqui vemos pivôs nas colunas 1 e 3. Logo, o posto (rank) de A é 2. Pela dimensão do domínio (5), o teorema do posto e nulidade diz que a dimensão do núcleo é 5-2=3.
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
Ax=0,
o que vira o sistema
x1 + x3 + 2x4 = 0, x3 + 4x4 = 0
Da segunda equação vem x3=-4x4. Substituindo na primeira: x1-4x4+2x4=0 dá x1=2x4. As variáveis livres são x2=x2, x4=x4 e x5=x5. Definindo parâmetros: