Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares rrrrr1 & 0 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & 0 : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar a dimensão e bases do núcleo (null space) e da imagem (column space) da aplicação linear T:R^5toR^2 cuja matriz canônica é
A= 1 & 0 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & 0
O conteúdo principal aqui é entender núcleo como solução de Ax=0 e imagem como o espaço gerado pelas colunas de A. Vamos usar eliminação para descobrir pivôs e depois aplicar rank–nullity.

Passo 2

Para encontrar os pivôs, aplicamos eliminação de Gauss em A:
1 & 0 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & 0 xrightarrowR2 R1+R2 1 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 4 & 0
Aqui vemos pivôs nas colunas 1 e 3. Logo, o posto (rank) de A é 2. Pela dimensão do domínio (5), o teorema do posto e nulidade diz que a dimensão do núcleo é 5-2=3.

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
Ax=0,
o que vira o sistema
x1 + x3 + 2x4 = 0, x3 + 4x4 = 0
Da segunda equação vem x3=-4x4. Substituindo na primeira: x1-4x4+2x4=0 x1=2x4. As variáveis livres são x2=x2, x4=x4 e x5=x5. Definindo parâmetros:
x2=s, x4=t, x5=u,
obtemos
x=(x1,x2,x3,x4,x5)=(2t,s,-4t,t,u)=s,(0,1,0,0,0)+t,(2,0,-4,1,0)+u,(0,0,0,0,1)
Assim uma base do núcleo é
(0,1,0,0,0),,(2,0,-4,1,0),,(0,0,0,0,1)
e dimker(T)=3.

Passo 4

A imagem de T é gerada pelas colunas de A. Como os pivôs estão nas colunas 1 e 3, uma base da imagem fica com essas colunas:
(1,-1),,(1,0)
e dimIm(T)=2. No contexto da teoria, pivôs indicam colunas linearmente independentes que geram toda a imagem.

Resposta

dim(ker(T)) = 3, base do núcleo = {(0,1,0,0,0), (2,0,-4,1,0), (0,0,0,0,1)}; dim(Im(T)) = 2, base da imagem = {(1,-1), (1,0)}.

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