Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares llll1 & 1 & 0 & 5 : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:

Passo 1

Nesse exercício vamos trabalhar com uma transformação linear T:R^4toR^1 cuja matriz na base canônica é dada por
A=1 & 1 & 0 & 5
O que precisamos encontrar é a dimensão e uma base de ker T e de Im,T. Vamos usar o Teorema da Dimensão (nulidade + posto = 4) e os procedimentos de definição de núcleo e imagem.

Passo 2

Para achar a imagem, note que T(x)=Ax produz sempre um escalar em R^1 da forma x1+x2+5x4. Como a linha de A é não nula, o posto de A é 1. Logo,
Im,T=lambda:lambdainR=span(1)subsetR^1
e então dimIm,T=1.

Passo 3

Para o núcleo, resolvemos
A x=0Long<=ftrightarrow x1+x2+5x4=0
Tomando x2=s,;x3=t,;x4=u livres, vem
x=(x1,x2,x3,x4)=(-s-5u,;s,;t,;u)
que se decompõe como combinação linear
x=s(-1,1,0,0)+t(0,0,1,0)+u(-5,0,0,1)
Assim
ker T=span(-1,1,0,0),;(0,0,1,0),;(-5,0,0,1)
e dimker T=3, conferindo com a nulidade. Usamos o fato de que o número de variáveis livres (3) é exatamente a dimensão do núcleo e que posto + nulidade = 4.

Resposta

dimker T=3,;base de ker T=(-1,1,0,0),,(0,0,1,0),,(-5,0,0,1);dimIm,T=1,;base de Im,T=(1).

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