Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares
:
cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
Nesse exercício vamos trabalhar com uma transformação linear
cuja matriz na base canônica é dada por
O que precisamos encontrar é a dimensão e uma base de
e de
. Vamos usar o Teorema da Dimensão (nulidade + posto = 4) e os procedimentos de definição de núcleo e imagem.
Passo 2
Para achar a imagem, note que
produz sempre um escalar em
da forma
. Como a linha de
é não nula, o posto de
é 1. Logo,
e então
.
Passo 3
Para o núcleo, resolvemos
Tomando
livres, vem
que se decompõe como combinação linear
Assim
e
, conferindo com a nulidade. Usamos o fato de que o número de variáveis livres (3) é exatamente a dimensão do núcleo e que posto + nulidade = 4.