Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares
:
cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
Temos a transformação linear T:
cuja matriz na base canônica é
O conteúdo envolve encontrar o núcleo (
) resolvendo o sistema homogêneo
e a imagem () como o espaço gerado pelas colunas de
.
Passo 2
Para achar o núcleo, resolvemos o sistema homogêneo
Da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Logo, a única solução é o vetor zero, então
, que tem dimensão zero e base vazia.
Passo 3
Para obter a imagem, observamos as colunas de
:
Calculamos o determinante de
:
portanto
e
são linearmente independentes e geram
. Assim , de dimensão 2, com base
.
Resposta
dim\ker(T)=0, base do núcleo =
; dim\im(T)=2, base da imagem = {(1,3),(-1,2)}