Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares rr1 & -1 3 & 2 : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:

Passo 1

Temos a transformação linear T: R^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
A=1 & -13 & 2
O conteúdo envolve encontrar o núcleo ( ker(T)) resolvendo o sistema homogêneo Ax=0 e a imagem () como o espaço gerado pelas colunas de im(T).

Passo 2

Para achar o núcleo, resolvemos o sistema homogêneo
x1 - x2 = 0, 3x1 + 2x2 = 0
Da primeira equação temos x1 = x2. Substituindo na segunda:
3x1 + 2x1 = 5x1 = 0 implies x1 = 0 implies x2 = 0
Logo, a única solução é o vetor zero, então ker(T)=(0,0), que tem dimensão zero e base vazia.

Passo 3

Para obter a imagem, observamos as colunas de A:
v1 = (1,3), v2 = (-1,2)
Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1cdot 2 - (-1)cdot 3 = 5 neq 0,
portanto v1 e v2 são linearmente independentes e geram R^2. Assim , de dimensão 2, com base im(T)=R^2.

Resposta

dim\ker(T)=0, base do núcleo = emptyset; dim\im(T)=2, base da imagem = {(1,3),(-1,2)}

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