4 Seja T in L(V) e f(t) in K[t] um polinômio qualquer. Então o núcleo de f(T) é invariante sob T.

Passo 1

Resumo da questão: queremos provar que, para um operador linear T:Vto V e um polinômio arbitrário f(t)in K[t], o núcleo de f(T), isto é ker(f(T))=vin V: f(T)(v)=0, é um subespaço invariante por T. Vamos usar a ideia de que T comuta com qualquer polinômio em si mesmo.

Passo 2

Definimos f(T) pelo polinômio
f(T)=a0,I + a1,T + a2,T^2 + cdots + an,T^n,
sendo aiin K e I a identidade. Como T comuta com cada potência T^k, ou seja, T,T^k=T^k,T=T^k+1, segue-se que
T,f(T)=f(T),T

Passo 3

Agora, para ver a invariança, seja vinker(f(T)). Então f(T)(v)=0. Aplicando f(T) em T(v) e usando a comutatividade, obtemos
f(T)l(T(v)r)=Tl(f(T)(v)r)=T(0)=0
Isso mostra que T(v) também pertence a ker(f(T)).

Passo 4

Portanto, concluímos que Tl(ker(f(T))r)subseteqker(f(T)), ou seja, ker(f(T)) é invariante sob T.

Resposta

O núcleo de f(T) é um subespaço invariante por T.

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