4 Seja
e
um polinômio qualquer. Então o núcleo de
é invariante sob
.
Passo 1
Resumo da questão: queremos provar que, para um operador linear
e um polinômio arbitrário
, o núcleo de
, isto é
, é um subespaço invariante por
. Vamos usar a ideia de que
comuta com qualquer polinômio em si mesmo.
Passo 2
Definimos
pelo polinômio
sendo
e
a identidade. Como
comuta com cada potência
, ou seja,
, segue-se que
Passo 3
Agora, para ver a invariança, seja
. Então
. Aplicando
em
e usando a comutatividade, obtemos
Isso mostra que
também pertence a
.
Passo 4
Portanto, concluímos que
, ou seja,
é invariante sob
.
Resposta
O núcleo de
é um subespaço invariante por
.