Suponha que T: V V seja linear. Mostre que cada um dos seguintes subespaços é invariante por T.
(iv) imagem de T.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o subespaço imagem de uma transformação linear T é invariante por T. O conteúdo aqui é espaços invariantes de uma transformação linear e vamos precisar usar a definição de invariante, que diz que um subespaço W é invariante se T(w)∈W para todo w∈W.

Passo 2

Seja im(T)={T(v):v\in V}. Precisamos mostrar que para todo w em im(T), T(w) também pertence a im(T).

Passo 3

Como w∈im(T), existe u em V tal que w=T(u). Aplicando T em w obtemos T(w)=T(T(u))=T^2(u).

Passo 4

Observe que T^2(u) é, por definição, T de algum vetor (no caso u). Então T^2(u)∈im(T). Logo, T(w)∈im(T) para todo w∈im(T), provando que im(T) é invariante por T.

Resposta

O subespaço imagem de T é invariante, pois T(im(T))\subseteq im(T).

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