Suponha que
seja linear. Mostre que cada um dos seguintes subespaços é invariante por
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(iv) imagem de
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(iv) imagem de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o subespaço imagem de uma transformação linear T é invariante por T. O conteúdo aqui é espaços invariantes de uma transformação linear e vamos precisar usar a definição de invariante, que diz que um subespaço W é invariante se T(w)∈W para todo w∈W.
Passo 2
Seja im(T)={T(v):v\in V}. Precisamos mostrar que para todo w em im(T), T(w) também pertence a im(T).
Passo 3
Como w∈im(T), existe u em V tal que w=T(u). Aplicando T em w obtemos T(w)=T(T(u))=T^2(u).
Passo 4
Observe que T^2(u) é, por definição, T de algum vetor (no caso u). Então T^2(u)∈im(T). Logo, T(w)∈im(T) para todo w∈im(T), provando que im(T) é invariante por T.
Resposta
O subespaço imagem de T é invariante, pois T(im(T))\subseteq im(T).