Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares rrr0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para achar a dimensão e bases do núcleo (ker T) e da imagem (im T) da transformação linear T: R^3to R^2 cuja matriz na base canônica é
A=0 & 0 & 1 1 & -1 & 0
O conteúdo principal aqui é encontrar soluções de um sistema homogêneo para o núcleo e usar as colunas de A como geradores para a imagem.

Passo 2

Para encontrar o núcleo, resolvemos A x=0. Escrevendo x=(x1,x2,x3) e montando o sistema homogêneo:
0cdot x1 + 0cdot x2 + 1cdot x3 = 0 1cdot x1 -1cdot x2 + 0cdot x3 = 0
Da primeira equação vem x3=0 e da segunda x1=x2. Logo,
ker T=(t,t,0):tin R=span(1,1,0),
então dimker T=1 e uma base é (1,1,0).

Passo 3

Para a imagem, usamos as colunas de A como geradores:
v2=-v1
Observamos que v1, então basta v3 e R^2, que são linearmente independentes em im T=span(0,1),(1,0)= R^2, . Logo,
então e uma base é dimim T=2.

Resposta

dimker T=1, base de ker T: (1,1,0); , base de : dimim T=2.

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