Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares
:
cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar a dimensão e bases do núcleo (ker T) e da imagem (im T) da transformação linear
cuja matriz na base canônica é
O conteúdo principal aqui é encontrar soluções de um sistema homogêneo para o núcleo e usar as colunas de
Passo 2
Para encontrar o núcleo, resolvemos
. Escrevendo
e montando o sistema homogêneo:
Da primeira equação vem
e da segunda
. Logo,
então
e uma base é
.
Passo 3
Para a imagem, usamos as colunas de
como geradores:
Observamos que , então basta
e
, que são linearmente independentes em
. Logo,
Observamos que
então e uma base é
.