Determine a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de R^3.
(a) U=(x, y, z) ; x-2 y=0 ;
(b) W=(x, y, z) ; x+z=0 e x-2 y=0;
(c) U cap W.

Passo 1

O enunciado define os subespaços
U=(x,y,z)inR^3mid x-2y=0
e
W=(x,y,z)inR^3mid x+z=0 e x-2y=0.
Pede-se dim(U), dim(W) e dim(UcapW).
Para isso, usaremos que cada equação linear independente em R^n reduz a dimensão em uma unidade, ou então encontraremos bases paramétricas.

Passo 2

Para U há apenas a equação x-2y=0, que é uma restrição independente em R^3. Assim
dim(U)=3-1=2
Em forma paramétrica, tomamos y e z livres, de modo que x=2y. Logo
(x,y,z)=y,(2,1,0)+z,(0,0,1),
e (2,1,0),(0,0,1) é uma base de U.

Passo 3

Para W existem duas equações independentes, x+z=0 e x-2y=0. Logo
dim(W)=3-2=1
Parametrizando y livre, obtemos x=2y e z=-x=-2y, ou seja
(x,y,z)=y,(2,1,-2),
e (2,1,-2) é base de W.

Passo 4

Observa-se que todo vetor de W já satisfaz x-2y=0, logo WsubseteqU. Consequentemente
UcapW=W Longrightarrow dim(UcapW)=dim(W)=1

Resposta

(a) dim(U)=2
(b) dim(W)=1
(c) dim(UcapW)=1

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