Determine a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de
.
(a)
(b)
e
;
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define os subespaços
e
.
Pede-se ,
e
.
Para isso, usaremos que cada equação linear independente em reduz a dimensão em uma unidade, ou então encontraremos bases paramétricas.
e
Pede-se
Para isso, usaremos que cada equação linear independente em
Passo 2
Para
há apenas a equação
, que é uma restrição independente em
. Assim
Em forma paramétrica, tomamos
e
livres, de modo que
. Logo
e
é uma base de
.
Passo 3
Para
existem duas equações independentes,
e
. Logo
Parametrizando
livre, obtemos
e
, ou seja
e
é base de
.
Passo 4
Observa-se que todo vetor de
já satisfaz
, logo
. Consequentemente
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)