Seja T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(x-7 y,-y, 2 y+2 z)
Mostre que T é um isomorfismo (injetora e sobrejetora) e calcule a sua inversa T^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x - 7y,;-y,;2y + 2z,)
O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares em R^n: para mostrar que T é um isomorfismo precisamos provar que a matriz associada é invertível (equivalente a ser injetora e sobrejetora) e então calcular explicitamente T^-1.

Passo 2

Vamos escrever como multiplicação por uma matriz na base canônica.
Para temos

Passo 3

Calculamos o determinante de A.
Como A é triangular por blocos,
det A =det1&-70&-1timesdetl(2r) =(1cdot(-1)-0)times 2 =(-1)times 2 =-2
Como det Aneq 0, A é invertível.

Passo 4

De det Aneq 0 segue que T é injetora e sobrejetora, ou seja, um isomorfismo de R^3 em si mesmo.

Passo 5

Para encontrar
Da segunda equação vem ,
E de obtemos

Resposta

A transformação T é um isomorfismo e sua inversa é
T^-1(u,v,w) =l(u - 7v,;-v,;tfracw + 2v2r)

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