Seja
dada por
Mostre que
é um isomorfismo (injetora e sobrejetora) e calcule a sua inversa
.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares em
: para mostrar que
é um isomorfismo precisamos provar que a matriz associada é invertível (equivalente a ser injetora e sobrejetora) e então calcular explicitamente
.
Passo 2
Vamos escrever
como multiplicação por uma matriz
na base canônica.
Para temos
Para
Passo 3
Calculamos o determinante de
.
Como é triangular por blocos,
Como
Como
,
é invertível.
Passo 4
De
segue que
é injetora e sobrejetora, ou seja, um isomorfismo de
em si mesmo.
Passo 5
Para encontrar
Da segunda equação vem ,
E de
obtemos
Resposta
A transformação
é um isomorfismo e sua inversa é