Seja
dada por
.
(a) Determine uma base para
e
.
(b) Determine uma base para
e
.
(a) Determine uma base para
(b) Determine uma base para
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede (a) uma base de
e
, (b) uma base de
e
.
Conteúdo: definição de núcleo e imagem de transformação linear, resolução de sistema linear para o núcleo e cálculo de imagem via vetores .
Conteúdo: definição de núcleo e imagem de transformação linear, resolução de sistema linear para o núcleo e cálculo de imagem via vetores
Passo 2
Para achar
Da primeira equação . Igualando
vem
. Logo
e pela segunda
. Portanto o único vetor no núcleo é o vetor zero, isto é
Isso significa que
e uma base é o conjunto vazio.
Passo 3
Para determinar
usamos que
, onde
,
,
. Calculamos:
Logo
Esses três vetores são linearmente independentes (por exemplo, o terceiro tem segunda coordenada não nula, enquanto os dois primeiros têm zero), logo formam uma base de
. Sendo independentes em
, temos
.
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(b)