Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y).
(a) Determine uma base para Ker(T) e dim(Ker(T)).
(b) Determine uma base para Im(T) e dim(Im(T)).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - 2y,;z,;x + y,)
e pede (a) uma base de ker(T) e dim(ker(T)), (b) uma base de Im(T) e dim(Im(T)).
Conteúdo: definição de núcleo e imagem de transformação linear, resolução de sistema linear para o núcleo e cálculo de imagem via vetores T(ei).

Passo 2

Para achar
Da primeira equação . Igualando vem . Logo e pela segunda . Portanto o único vetor no núcleo é o vetor zero, isto é
Isso significa que e uma base é o conjunto vazio.

Passo 3

Para determinar Im(T) usamos que
Im(T) = spanT(e1),T(e2),T(e3), onde e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). Calculamos:
T(e1) = (1-0,,0,,1+0) = (1,0,1), T(e2) = (0-2,,0,,0+1) = (-2,0,1), T(e3) = (0-0,,1,,0+0) = (0,1,0)
Logo
Im(T) = span(1,0,1),,(-2,0,1),,(0,1,0)
Esses três vetores são linearmente independentes (por exemplo, o terceiro tem segunda coordenada não nula, enquanto os dois primeiros têm zero), logo formam uma base de Im(T). Sendo independentes em R^3, temos dim(Im(T))=3.

Resposta

(a) ker(T)=(0,0,0), dim(ker(T))=0.
(b) Im(T)=span(1,0,1),,(-2,0,1),,(0,1,0), dim(Im(T))=3.

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