Mostre que é diagonalizável, apresente a base e a matriz que representa nesta base.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede para mostrar que é diagonalizável, encontrando uma base de autovetores e a matriz de nessa base. Para isso, vamos (i) obter a matriz de na base canônica, (ii) calcular os autovalores e autovetores, (iii) verificar que há três autovetores linearmente independentes e (iv) escrever a matriz diagonal.
Tomando x=1 obtemos o vetor (1,-2,0). Assim uma base de E-1 é (1,-2,0).
Passo 6
Os autoespaços gerados por lambda=1 e lambda=-1 têm dimensões 2 e 1, somando 3, igual à dimensão de R^3. Logo T é diagonalizável. Tomando a base de autovetores
B=,v1=(1,0,0),;v2=(0,0,1),;v3=(1,-2,0),
a matriz de T em relação a B é diagonal com as entradas na ordem lambda(v1)=1, lambda(v2)=1, lambda(v3)=-1.