Seja T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(x+y,-y, z)
Mostre que T é diagonalizável, apresente a base e a matriz que representa T nesta base.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(x+y,,-y,,z),
e pede para mostrar que T é diagonalizável, encontrando uma base de autovetores e a matriz de T nessa base. Para isso, vamos (i) obter a matriz de T na base canônica, (ii) calcular os autovalores e autovetores, (iii) verificar que há três autovetores linearmente independentes e (iv) escrever a matriz diagonal.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,0)=e1, T(e2)=T(0,1,0)=(1,-1,0)=e1-e2, T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,1)=e3
Logo a matriz de T nesta base é
A = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 1 & 0 0 & -1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)(1-lambda)
Portanto os autovalores são
lambda=1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda=-1(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
A-I= 0 & 1 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 implies y=0,;x,z livres
Uma base do autoespaço E1 é
(1,0,0),(0,0,1).

Passo 5

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
A+I= 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 implies 2x+y=0,;2z=0 implies y=-2x,;z=0
Tomando x=1 obtemos o vetor (1,-2,0). Assim uma base de E-1 é (1,-2,0).

Passo 6

Os autoespaços gerados por lambda=1 e lambda=-1 têm dimensões 2 e 1, somando 3, igual à dimensão de R^3. Logo T é diagonalizável. Tomando a base de autovetores
B=,v1=(1,0,0),;v2=(0,0,1),;v3=(1,-2,0),
a matriz de T em relação a B é diagonal com as entradas na ordem lambda(v1)=1, lambda(v2)=1, lambda(v3)=-1.

Resposta

A base de autovetores que diagonaliza T é
B = (1,0,0),;(0,0,1),;(1,-2,0),
e, nessa base, a matriz de T é
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

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