Determine a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear abaixo:
e)
Assinale as alternativas corretas
e)
Assinale as alternativas corretas
Passo 1
O enunciado considera a transformação linear
onde
é o espaço dos polinômios de grau no máximo
, de dimensão
.
Queremos calcular e
. Para isso, usaremos a caracterização dos polinômios cuja derivada é zero e o Teorema de Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imago).
Queremos calcular
Passo 2
Para achar
, resolvemos
Um polinômio cuja derivada é identicamente zero só pode ser da forma
Logo
que é isomorfo ao espaço das constantes, de dimensão
Passo 3
Pela Fórmula Núcleo–Imagem (Teorema da dimensão), temos
Como
e
, segue
Alternativamente, observa-se que
gera exatamente o espaço dos polinômios de grau
, que tem dimensão
.