Determine a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear abaixo:
e) F: P2(R) P2(R), F(p(t))=p^prime(t)
dim Ker(F)= dim Im(F)= square
Assinale as alternativas corretas

Passo 1

O enunciado considera a transformação linear
Fcolon P2(R) to P2(R), Fl(p(t)r)=p'(t),
onde P2(R) é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, de dimensão dim P2(R)=3.
Queremos calcular dimker(F) e dimIm(F). Para isso, usaremos a caracterização dos polinômios cuja derivada é zero e o Teorema de Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imago).

Passo 2

Para achar ker(F), resolvemos
p'(t)=0
Um polinômio cuja derivada é identicamente zero só pode ser da forma
p(t)=c, cinR
Logo
ker(F)=,p(t)=c : cinR,
que é isomorfo ao espaço das constantes, de dimensão
dimker(F)=1

Passo 3

Pela Fórmula Núcleo–Imagem (Teorema da dimensão), temos
dim P2(R)=dimker(F)+dimIm(F)
Como dim P2(R)=3 e dimker(F)=1, segue
3 = 1 + dimIm(F) Longrightarrow dimIm(F)=2
Alternativamente, observa-se que F(p)=p' gera exatamente o espaço dos polinômios de grau <=1, que tem dimensão 2.

Resposta

dimker(F)=1 dimIm(F)=2

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