Todas as respostas devem ser justificadas;
Proibido uso de calculadora, celular ou qualquer objeto não autorizado previamente.
Encontrar as equações paramétricas da reta que passa pela interseção de r1 e r2 e é simultaneamente ortogonal a r1 e r2, onde r1:ly=2 x-5 z=3 x-6 e r2: x-2=-y-4=z+5-2.

Passo 1

O enunciado pede a reta em R^3 que (i) passa pelo ponto de interseção de r1 e r2 e (ii) é ortogonal a ambas. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos parametrizar r1 e r2, achar seu ponto de interseção, obter seus vetores diretores vec v1 e vec v2, e então usar o produto vetorial vec v1timesvec v2 para encontrar a direção da reta buscada.

Passo 2

Parametrizamos
basta tomar (x=t]. Logo

de onde
é

Passo 3

Parametrizamos r2 na forma simétrica
x-2=-y-4=z+5-2=s
Daí
x=2+s, y=-4-s, z=-5-2s,
então
r2(s)=(2+s,,-4-s,,-5-2s),
com vetor diretor
vec v2=(1,-1,-2) e ponto em r2 é (2,-4,-5) é

Passo 4

Para achar o ponto de interseção igualamos
(t,;2t-5,;3t-6)=(2+s,;-4-s,;-5-2s)
Da primeira coordenada t=2+s. Substituindo em
2t-5=-4-s
vem 2(2+s)-5=-4-simplies4+2s-5=-4-simplies3s=-3implies s=-1, logo t=1. Conferindo a terceira coordenada dá 3cdot1-6=-3 e -5-2(-1)=-3, ok. Assim o ponto de interseção é
P0=(1,,-3,,-3)

Passo 5

Obtemos a direção da reta buscada como o produto vetorial
vec v =vec v1timesvec v2 = i & j & k 1 & 2 & 3 1 & -1 & -2 =(-1,5,-3)
Podemos usar (1,-5,3) (multiplicando por -1). Verificamos
(1,-5,3)cdot(1,2,3)=1-10+9=0, (1,-5,3)cdot(1,-1,-2)=1+5-6=0,
confirmando ortogonalidade.

Passo 6

Finalmente, a reta procurada, passando por P0=(1,-3,-3) e com direção (1,-5,3), tem equações paramétricas
x=1+t, y=-3-5t, z=-3+3t, tinR

Resposta

boxedx=1+t, y=-3-5t, z=-3+3t, tinR

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