Determine a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear abaixo:
c) F: R^2 R^2, F(x, y)=(x+y, x-y)
dim Ker(F)=square
dim Im(F)=
Assinale as alternativas corretas

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e para a transformação linear
O conteúdo é núcleo e imagem de uma transformação linear em espaço de dimensão finita. Vamos usar a matriz associada no base canônico, resolver o sistema homogêneo para o núcleo e calcular o posto para a imagem.

Passo 2

A matriz de em relação à base canônica é
pois

Passo 3

Para achar
isto é, o sistema
Somando as duas equações obtemos . Logo o único vetor do núcleo é o vetor nulo.

Passo 4

Como a única solução é trivial, e portanto

Passo 5

Para , basta calcular o posto de . Como
a matriz é invertível, logo . Pelo teorema da dimensão (rank–nullity) em ,

Resposta

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