Determine a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear abaixo:
c)
Assinale as alternativas corretas
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e para a transformação linear
O conteúdo é núcleo e imagem de uma transformação linear em espaço de dimensão finita. Vamos usar a matriz associada no base canônico, resolver o sistema homogêneo para o núcleo e calcular o posto para a imagem.
Passo 2
A matriz de em relação à base canônica é
pois
Passo 3
Para achar
isto é, o sistema
Somando as duas equações obtemos . Logo o único vetor do núcleo é o vetor nulo.
Passo 4
Como a única solução é trivial, e portanto
Passo 5
Para , basta calcular o posto de . Como
a matriz é invertível, logo . Pelo teorema da dimensão (rank–nullity) em ,