Verifique se as transformações abaixo são lineares:
h) F: P2(R) P2(R), F(p(t))=p(t)+t^2 square <=

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Fcolon P2(R)to P2(R), Fl(p(t)r)=p(t)+t^2
é uma transformação linear. O conteúdo principal aqui é a definição de linearidade em espaços vetoriais de polinômios, que exige aditividade e homogeneidade, ou equivalentemente que F(0)=0.

Passo 2

Lembrando a definição: uma transformação F é linear se, para quaisquer polinômios p,q e escalar c, vale
F(p+q)=F(p)+F(q) e F(c,p)=c,F(p)
Em particular, um corolário disso é que F(0)=0, onde 0 é o polinômio nulo.

Passo 3

Vamos checar F aplicada ao polinômio nulo. Seja 0 o polinômio zero; então
F(0)=0 + t^2=t^2neq 0
Como F(0) não é o polinômio zero, já viola a condição necessária F(0)=0.

Resposta

A transformação F(p(t))=p(t)+t^2 não é linear.

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