Verifique se as transformações abaixo são lineares:
j) F: P2(R) R, F(p(t))=integral0^1 p(t) d t

Passo 1

O enunciado define
Fcolon P2(R)toR por
Fl(p(t)r)=integral0^1p(t),dt
Queremos verificar se F é transformação linear, ou seja, se preserva soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação da aditividade. Para quaisquer p,qin P2(R) temos
F(p+q) =integral0^1l(p(t)+q(t)r),dt =integral0^1p(t),dt+integral0^1q(t),dt =F(p)+F(q)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para qualquer alphainR e pin P2(R) vale
F(alpha p) =integral0^1alpha,p(t),dt =alphaintegral0^1p(t),dt =alpha,F(p)

Resposta

A transformação F é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade.

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