Determine a dimensão do seguinte subespaço de P4(R) : W=p(x) in P4(R) ; p(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
W = ,p(x)inP4(R) mid p(1)=0.
Aqui o conteúdo envolve dimensão de espaços de polinômios e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).

Passo 2

Sabemos que
P4(R)
é o espaço de todos os polinômios de grau <=4, que tem base canônica
1, x, x^2, x^3, x^4.
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diml(P4(R)r) ;=;5

Passo 3

Definimos o funcional linear de avaliação em x=1:
Lcolon P4(R) to R, Ll(p(x)r) = p(1)
Então
W = ker(L).
Como L não é o funcional zero (por exemplo L(1)=1neq0), temos dim(Im,L)=1.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (ou rank–nullity):
diml(ker(L)r) ;+; diml(Im(L)r) ;=; diml(P4(R)r)
Substituindo,
dim(W) + 1 = 5 Longrightarrow dim(W) = 4

Resposta

A dimensão de W é 4.

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