Verifique que beta=(1,4,2),(3,0,-1),(2,-1,-1) é uma base de R^3. Expresse (17,3,19) como combinação linear única dos vetores dessa base beta.

Passo 1

O enunciado pergunta se beta=v1,v2,v3, com
v1=(1,4,2), v2=(3,0,-1), v3=(2,-1,-1),
é base de R^3 e, em seguida, expressar (17,3,19) como combinação linear única desses vetores. Vamos usar duas ideias principais: (i) um sistema de vetores em R^3 é base se for linearmente independente (determinante não nulo) e (ii) para escrever (17,3,19)=a,v1+b,v2+c,v3 montamos um sistema linear em a,b,c.

Passo 2

Para verificar a independência linear, formamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3:
M= 1 & 3 & 2 4 & 0 & -1 2 & -1 & -1
Calculamos seu determinante:
det(M) =1cdot(0cdot(-1)-(-1)cdot(-1)) -3cdot(4cdot(-1)-(-1)cdot2) +2cdot(4cdot(-1)-0cdot2) =-1-3cdot(-2)+2cdot(-4) =-1+6-8=-3neq0
Como det(M)neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam base.

Passo 3

Para achar a,b,c tais que
a(1,4,2)+b(3,0,-1)+c(2,-1,-1)=(17,3,19),
igualamos coordenadas e obtemos o sistema
a+3b+2c=17, 4a,-,c=3, 2a,-,b,-,c=19

Passo 4

Da segunda equação extraímos
c=4a-3
Substituindo em a+3b+2c=17 e 2a-b-c=19 vem
a+3b+2(4a-3)=17Longrightarrow9a+3b=23,
2a-b-(4a-3)=19Longrightarrow-2a-b=16
Da segunda obtemos b=-2a-16. Substituindo em 9a+3b=23
9a+3(-2a-16)=23Longrightarrow9a-6a-48=23Longrightarrow3a=71Longrightarrow a=tfrac713
Logo
b=-2cdottfrac713-16=-tfrac1423-tfrac483=-tfrac1903,
e usando c=4a-3 segue
c=4cdottfrac713-3=tfrac2843-tfrac93=tfrac2753

Resposta

(17,3,19) =tfrac713(1,4,2);-;tfrac1903(3,0,-1);+;tfrac2753(2,-1,-1)

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