Mostre que se v1, v2, v3 é uma base para o espaço 3 -dimensional V, então v1+v2, v2+ v3, v1+v3 também é uma base para V.

Passo 1

O enunciado diz que v1,v2,v3 é uma base de um espaço vetorial V de dimensão 3. Isso significa que esses vetores são linearmente independentes e geram todo V. Queremos mostrar que os vetores
u1=v1+v2, u2=v2+v3, u3=v1+v3
também formam uma base de V. Para isso basta provar que u1,u2,u3 é linearmente independente (já teremos automaticamente 3 vetores em espaço de dimensão 3, logo será base).

Passo 2

Suponha que exista combinação linear que anule esses vetores, isto é, suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,u1 + b,u2 + c,u3 = 0
Substituindo u1=v1+v2, u2=v2+v3 e u3=v1+v3, obtemos
a,(v1+v2) ;+; b,(v2+v3) ;+; c,(v1+v3) ;=; 0

Passo 3

Agrupando os termos em v1,v2,v3, temos
a,v1 + a,v2 + b,v2 + b,v3 + c,v1 + c,v3 =;(a+c),v1 + (a+b),v2 + (b+c),v3 = 0

Passo 4

Como v1,v2,v3 é base, esses vetores são linearmente independentes, logo os coeficientes da combinação acima devem ser zero:
a + c = 0, a + b = 0, b + c = 0
Dessas igualdades segue b=-a e c=-a. Substituindo em b+c=0 -a + (-a)=0, ou seja -2a=0, portanto a=0. Daí b=0 e c=0.

Passo 5

Obtemos só a solução trivial a=b=c=0. Isso prova que u1,u2,u3 é linearmente independente. Como esse conjunto tem três vetores em um espaço de dimensão 3, ele também gera V e, portanto, é base.

Resposta

v1+v2,,v2+v3,,v1+v3 é uma base de V.

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