Mostre que se
é uma base para o espaço 3 -dimensional
, então
também é uma base para
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma base de um espaço vetorial
de dimensão 3. Isso significa que esses vetores são linearmente independentes e geram todo
. Queremos mostrar que os vetores
também formam uma base de
. Para isso basta provar que
é linearmente independente (já teremos automaticamente 3 vetores em espaço de dimensão 3, logo será base).
Passo 2
Suponha que exista combinação linear que anule esses vetores, isto é, suponha que existam escalares
tais que
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 3
Agrupando os termos em
, temos
Passo 4
Como
é base, esses vetores são linearmente independentes, logo os coeficientes da combinação acima devem ser zero:
Dessas igualdades segue
e
. Substituindo em
dá
, ou seja
, portanto
. Daí
e
.
Passo 5
Obtemos só a solução trivial
. Isso prova que
é linearmente independente. Como esse conjunto tem três vetores em um espaço de dimensão 3, ele também gera
e, portanto, é base.