Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes
. Qual é a dimensão desse espaço? Mostre que, se
e
é a base de
e
é a base de
então
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Dar uma base do espaço
de todas as matrizes sobre um corpo e determinar sua dimensão. - Mostrar que, se
, é base de e é base de , então
é base de
.
Os conteúdos envolvidos são: definição de base, dimensão, soma direta de subespaços, independência e gerador.
Os conteúdos envolvidos são: definição de base, dimensão, soma direta de subespaços, independência e gerador.
Passo 2
Definimos para
a matriz
que tem 1 na entrada
e 0 em todas as outras.
- Qualquer matriz
pode ser escrita como
logo
gera
.
2. Se
então olhando a entrada vem
para todo
. Assim essas matrizes são linearmente independentes.
Portanto é uma base e sua cardinalidade é , ou seja,
2. Se
então olhando a entrada
Portanto é uma base e sua cardinalidade é
Passo 3
Agora provamos que
gera
. Como
, dado
existe única decomposição
com
,
. Cada pedaço expande-se em sua base:
Somando,
é combinação linear de elementos de
. Logo
gera
.
Passo 4
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha
O primeiro somatório está em
e o segundo em
, então
Mas (soma direta), logo cada soma é zero isoladamente. Da independência de
e de
segue
para todo
e
para todo
. Portanto
é independente.
Mas
Resposta
A base de
é
e sua dimensão é
.
Se ,
base de
e
base de
, então
Se
é base de
.