Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes n times n. Qual é a dimensão desse espaço? Mostre que, se V=W1 oplus W2 e alpha=v1, ldots, vk é a base de W1 e beta=w1, ldots, wr é a base de W2 então gamma=v1, ldots, vk, w1, ldots, wr.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Dar uma base do espaço Mntimes n(Bbb K) de todas as matrizes ntimes n sobre um corpo Bbb K e determinar sua dimensão.
  2. Mostrar que, se V=W1oplus W2, alpha=v1,dots,vk é base de W1 e beta=w1,dots,wr é base de W2, então
gamma=v1,dots,vk,w1,dots,wr
é base de V.
Os conteúdos envolvidos são: definição de base, dimensão, soma direta de subespaços, independência e gerador.

Passo 2

Definimos para 1<= i,j<= n a matriz Eij que tem 1 na entrada (i,j) e 0 em todas as outras.
  1. Qualquer matriz A=(aij)in Mntimes n(Bbb K) pode ser escrita como
A=sumi=1^nsumj=1^n aijEij,
logo Eij:1<= i,j<= n gera Mntimes n(Bbb K).
2. Se
sumi,jcijEij=0,
então olhando a entrada (i,j) vem cij=0 para todo i,j. Assim essas matrizes são linearmente independentes.
Portanto é uma base e sua cardinalidade é n^2, ou seja,
dim Mntimes n(Bbb K)=n^2

Passo 3

Agora provamos que gamma gera V. Como V=W1oplus W2, dado vin V existe única decomposição v=v^(1)+v^(2) com v^(1)in W1, v^(2)in W2. Cada pedaço expande-se em sua base:
v^(1)=sumi=1^k ai vi, v^(2)=sumj=1^r bj wj
Somando, v é combinação linear de elementos de gamma. Logo gamma gera V.

Passo 4

Mostramos que gamma é linearmente independente. Suponha
sumi=1^k ai vi + sumj=1^r bj wj = 0
O primeiro somatório está em W1 e o segundo em W2, então
sum ai vi = -sum bj wjin W1cap W2
Mas W1cap W2=0 (soma direta), logo cada soma é zero isoladamente. Da independência de alpha e de beta segue ai=0 para todo i e bj=0 para todo j. Portanto gamma é independente.

Resposta

A base de Mntimes n(Bbb K) é
Eij:1<= i,j<= n,
e sua dimensão é n^2.
Se V=W1oplus W2, alpha base de W1 e beta base de W2, então
gamma=v1,dots,vk,w1,dots,wr
é base de V.

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