Verifique se as matrizes
formam uma base de
M(2 times 2) .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de quatro matrizes
é uma base de
M(2times2) . Sabemos que
dim M(2times2)=4 , então basta mostrar que essas quatro matrizes são linearmente independentes.
Passo 2
Para checar independência linear, vamos associar cada matriz ao vetor em
dado por
Assim,
vira um vetor
.
Passo 3
Computando cada vetor:
Passo 4
Formamos a matriz
MinR^4times4 cujas colunas são
v1,v2,v3,v4 :
Fazendo eliminação de Gauss, obtemos pivôs em todas as quatro linhas:
Há pivô em cada linha, então
rank(M)=4 e os
vi são linearmente independentes.
Passo 5
Como
dim M(2times2)=4 e temos quatro matrizes linearmente independentes, concluímos pelo teorema de dimensão que elas formam uma base de
M(2times2) .
Resposta
Sim, as quatro matrizes formam uma base de
M(2times2) , pois são linearmente independentes em um espaço de dimensão
4 .