Verifique se as matrizes
(cc 1 & -1 0 & 0 ),(cc 0 & -1 1 & 0 ),(cc 0 & 0 1 & -1 ),(cc 0 & 0 0 & -1 )
formam uma base de M(2 times 2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de quatro matrizes
A1=1 & -10 & 0, A2=0 & -11 & 0, A3=0 & 01 & -1, A4=0 & 00 & -1
é uma base de M(2times2). Sabemos que dim M(2times2)=4, então basta mostrar que essas quatro matrizes são linearmente independentes.

Passo 2

Para checar independência linear, vamos associar cada matriz ao vetor em dado por
Assim, vira um vetor .

Passo 3

Computando cada vetor:
v1=(1,,-1,,0,,0)^T, v2=(0,,-1,,1,,0)^T, v3=(0,,0,,1,,-1)^T, v4=(0,,0,,0,,-1)^T

Passo 4

Formamos a matriz MinR^4times4 cujas colunas são v1,v2,v3,v4:
M= 1 & 0 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & -1
Fazendo eliminação de Gauss, obtemos pivôs em todas as quatro linhas:
&(i) R2 R2+R1implies 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & -1 , &(ii) R3 R3+R2implies 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & -1 , &(iii) R4 R4+R3implies 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
Há pivô em cada linha, então rank(M)=4 e os vi são linearmente independentes.

Passo 5

Como dim M(2times2)=4 e temos quatro matrizes linearmente independentes, concluímos pelo teorema de dimensão que elas formam uma base de M(2times2).

Resposta

Sim, as quatro matrizes formam uma base de M(2times2), pois são linearmente independentes em um espaço de dimensão 4.

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