As perguntas são:
(a) Encontrar uma base e \dim(W_{1}).
(b) Encontrar uma base e \dim(W_{2}).
(c) Encontrar uma base e \dim(W_{1}\cap W_{2}).
(d) Encontrar uma base e \dim(W_{1}+W_{2}).
Passo 2
Estratégia geral (rápida explicação didática sobre o método que vou usar):
Um subespaço definido por equações lineares é o conjunto das soluções de um sistema homogêneo. Para achar uma base, escrevo um vetor genérico (a,b,c,d) sujeito às restrições, escolho variáveis livres como parâmetros e exprimo o vetor como combinação linear desses parâmetros. Os vetores que multiplicam os parâmetros formam um conjunto gerador; depois verifico independência linear para ter uma base.
Definições úteis:
Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço.
A dimensão é o número de vetores na base.
Vou aplicar isso caso a caso.
Passo 3
Determinar [W_{1}).
Escrevo o vetor geral e a equação que o define:(a,b,c,d)\in W_{1}\quad\text{com}\quad b+c+d=0.
Isolo uma variável (por exemplo b) em função das outras:b = -c - d.
Substituo para escrever o vetor em termos dos parâmetros a,c,d (escolhi a,c,d como livres):(a,b,c,d) = \bigl(a,\,-c-d,\,c,\,d\bigr).
Reescrevo isso como combinação linear dos parâmetros:(a,b,c,d) = a\,(1,0,0,0) + c\,(0,-1,1,0) + d\,(0,-1,0,1).Aqui cada parâmetro multiplica um vetor fixo; esses vetores geram W_{1}.
Proponho o conjuntoB_{1}=\{(1,0,0,0),\\ (0,-1,1,0),\\ (0,-1,0,1)\}.Vou verificar que são linearmente independentes (explicação passo a passo):
suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que\alpha(1,0,0,0)+\beta(0,-1,1,0)+\gamma(0,-1,0,1)=(0,0,0,0).Isso dá, coordenada a coordenada:\begin{cases} \alpha = 0,\\[4pt] -\beta-\gamma = 0,\\[4pt] \beta = 0,\\[4pt] \gamma = 0. \end{cases}Da terceira equação \beta=0\]; então da segunda \(-0-\gamma=0 segue \gamma=0; e da primeira \alpha=0. Portanto só a combinação trivial existe, logo os vetores são linearmente independentes.
Como foram obtidos três vetores independentes que geram W_{1}, eles formam uma base e\dim(W_{1})=3.]
Passo 4
Determinar W_{2}.
As condições do subespaço sãoa+b=0,\qquad c=2d.
Expresso a em função de b: a=-b. Escolho b e d como parâmetros livres. Então(a,b,c,d)=(-b,b,2d,d).
Escrevo como combinação linear dos parâmetros b,d:(a,b,c,d) = b\,(-1,1,0,0) + d\,(0,0,2,1).
Proponho a base geradoraB_{2}=\{(-1,1,0,0),\\ (0,0,2,1)\}.
Verifico independência: suponha \mu(-1,1,0,0)+\nu(0,0,2,1)=(0,0,0,0). Das duas primeiras coordenadas obtemos -\mu=0 e \mu=0, então \mu=0; das últimas coordenadas \;2\nu=0 e \nu=0. Logo só a combinação trivial e os vetores são independentes.
Um vetor v\in W_{1}\cap W_{2} deve satisfazer simultaneamente as equações de W_{2} e a de W_{1}.
Usando a parametrização de W_{2}, qualquer vetor em W_{2} tem a formav = (-b,b,2d,d)com parâmetros b,d.
Impor que v\in W_{1} significa que b+c+d=0. Substituo c=2d:b + 2d + d = 0 \quad\Rightarrow\quad b + 3d = 0.
Então b = -3d. Substituindo de volta em v:v = (-(-3d),\,-3d,\,2d,\,d) = d\,(3,-3,2,1).
Assim todo vetor do encontro é múltiplo do vetor (3,-3,2,1). LogoB_{12}=\{(3,-3,2,1)\}gera W_{1}\cap W_{2}. É claramente independente (um único vetor não-nulo é independente), então é base.
Conclusão:\dim(W_{1}\cap W_{2})=1.
Passo 6
Determinar W_{1}+W_{2} (base e dimensão).
Uso a fórmula da dimensão para soma de subespaços:\dim(W_{1}+W_{2})=\dim(W_{1})+\dim(W_{2})-\dim(W_{1}\cap W_{2}).Substituindo os valores encontrados:\dim(W_{1}+W_{2})=3+2-1=4.
Como \mathbb{R}^{4} tem dimensão 4, isso implica W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.
Para dar uma base explícita de W_{1}+W_{2}, posso usar a base canônica de \mathbb{R}^{4}:E=\{(1,0,0,0),\\ (0,1,0,0),\\ (0,0,1,0),\\ (0,0,0,1)\},que é uma base de \mathbb{R}^{4} e portanto também uma base de W_{1}+W_{2}.
Só para reforçar concretamente que cada e_{i} está em W_{1}+W_{2} (isto é, pode ser escrito como soma de um vetor de W_{1} e outro de W_{2}):
e_{1}=(1,0,0,0)\in W_{1} (toma a=1,c=0,d=0 com b=0).
e_{2}=(0,1,0,0)=e_{1}+(-1,1,0,0) com e_{1}\in W_{1} e (-1,1,0,0)\in W_{2}.
e_{3}=(0,0,1,0)=(0,-1,1,0)+(0,1,0,0) e já sabemos (0,-1,1,0)\in W_{1} e (0,1,0,0)\in W_{1}+W_{2}, então e_3\in W_{1}+W_{2}.
e_{4} obtém-se de modo análogo usando (0,-1,0,1)\in W_{1} e e_{2}.
Isso confirma que E\subset W_{1}+W_{2} e, portanto, W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.
Consequentemente uma base explícita para W_{1}+W_{2} é a base canônica E acima, e\dim(W_{1}+W_{2})=4.