1. Sejam W_{1} e W_{2} os seguintes subespaços de \mathbb{R}^{4} :
W_{1}=\{(a, b, c, d) ; b+c+d=0\} e W_{2}=\{(a, b, c, d) ; a+b=0, c=2 d\}.
Ache uma base e a dimensão de (a) W_{1}, (b) W_{2}, (c) W_{1} \cap W_{2}, (d) W_{1}+W_{2}

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{4} e pede base e dimensão de quatro objetos distintos. As informações são:
  • W_{1}=\{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}\\ ;\\ b+c+d=0\}.
  • W_{2}=\{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}\\ ;\\ a+b=0,\; c=2d\}.
As perguntas são:
(a) Encontrar uma base e \dim(W_{1}).
(b) Encontrar uma base e \dim(W_{2}).
(c) Encontrar uma base e \dim(W_{1}\cap W_{2}).
(d) Encontrar uma base e \dim(W_{1}+W_{2}).

Passo 2

Estratégia geral (rápida explicação didática sobre o método que vou usar):
  • Um subespaço definido por equações lineares é o conjunto das soluções de um sistema homogêneo. Para achar uma base, escrevo um vetor genérico (a,b,c,d) sujeito às restrições, escolho variáveis livres como parâmetros e exprimo o vetor como combinação linear desses parâmetros. Os vetores que multiplicam os parâmetros formam um conjunto gerador; depois verifico independência linear para ter uma base.
  • Definições úteis:
    • Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço.
    • A dimensão é o número de vetores na base.
      Vou aplicar isso caso a caso.

Passo 3

Determinar [W_{1}).
  • Escrevo o vetor geral e a equação que o define: (a,b,c,d)\in W_{1}\quad\text{com}\quad b+c+d=0.
  • Isolo uma variável (por exemplo b) em função das outras: b = -c - d.
  • Substituo para escrever o vetor em termos dos parâmetros a,c,d (escolhi a,c,d como livres): (a,b,c,d) = \bigl(a,\,-c-d,\,c,\,d\bigr).
  • Reescrevo isso como combinação linear dos parâmetros: (a,b,c,d) = a\,(1,0,0,0) + c\,(0,-1,1,0) + d\,(0,-1,0,1).Aqui cada parâmetro multiplica um vetor fixo; esses vetores geram W_{1}.
  • Proponho o conjunto B_{1}=\{(1,0,0,0),\\ (0,-1,1,0),\\ (0,-1,0,1)\}.Vou verificar que são linearmente independentes (explicação passo a passo):
    suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que \alpha(1,0,0,0)+\beta(0,-1,1,0)+\gamma(0,-1,0,1)=(0,0,0,0).Isso dá, coordenada a coordenada: \begin{cases} \alpha = 0,\\[4pt] -\beta-\gamma = 0,\\[4pt] \beta = 0,\\[4pt] \gamma = 0. \end{cases}Da terceira equação \beta=0\]; então da segunda \(-0-\gamma=0 segue \gamma=0; e da primeira \alpha=0. Portanto só a combinação trivial existe, logo os vetores são linearmente independentes.
  • Como foram obtidos três vetores independentes que geram W_{1}, eles formam uma base e \dim(W_{1})=3.]

Passo 4

Determinar W_{2}.
  • As condições do subespaço são a+b=0,\qquad c=2d.
  • Expresso a em função de b: a=-b. Escolho b e d como parâmetros livres. Então (a,b,c,d)=(-b,b,2d,d).
  • Escrevo como combinação linear dos parâmetros b,d: (a,b,c,d) = b\,(-1,1,0,0) + d\,(0,0,2,1).
  • Proponho a base geradora B_{2}=\{(-1,1,0,0),\\ (0,0,2,1)\}.
  • Verifico independência: suponha \mu(-1,1,0,0)+\nu(0,0,2,1)=(0,0,0,0). Das duas primeiras coordenadas obtemos -\mu=0 e \mu=0, então \mu=0; das últimas coordenadas \;2\nu=0 e \nu=0. Logo só a combinação trivial e os vetores são independentes.
  • Conclusão: B_{2}=\{(-1,1,0,0),\\ (0,0,2,1)\},\qquad \dim(W_{2})=2.

Passo 5

Determinar W_{1}\cap W_{2}.
  • Um vetor v\in W_{1}\cap W_{2} deve satisfazer simultaneamente as equações de W_{2} e a de W_{1}.
  • Usando a parametrização de W_{2}, qualquer vetor em W_{2} tem a forma v = (-b,b,2d,d)com parâmetros b,d.
  • Impor que v\in W_{1} significa que b+c+d=0. Substituo c=2d: b + 2d + d = 0 \quad\Rightarrow\quad b + 3d = 0.
  • Então b = -3d. Substituindo de volta em v: v = (-(-3d),\,-3d,\,2d,\,d) = d\,(3,-3,2,1).
  • Assim todo vetor do encontro é múltiplo do vetor (3,-3,2,1). Logo B_{12}=\{(3,-3,2,1)\}gera W_{1}\cap W_{2}. É claramente independente (um único vetor não-nulo é independente), então é base.
  • Conclusão: \dim(W_{1}\cap W_{2})=1.

Passo 6

Determinar W_{1}+W_{2} (base e dimensão).
  • Uso a fórmula da dimensão para soma de subespaços: \dim(W_{1}+W_{2})=\dim(W_{1})+\dim(W_{2})-\dim(W_{1}\cap W_{2}).Substituindo os valores encontrados: \dim(W_{1}+W_{2})=3+2-1=4.
  • Como \mathbb{R}^{4} tem dimensão 4, isso implica W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.
  • Para dar uma base explícita de W_{1}+W_{2}, posso usar a base canônica de \mathbb{R}^{4}: E=\{(1,0,0,0),\\ (0,1,0,0),\\ (0,0,1,0),\\ (0,0,0,1)\},que é uma base de \mathbb{R}^{4} e portanto também uma base de W_{1}+W_{2}.
  • Só para reforçar concretamente que cada e_{i} está em W_{1}+W_{2} (isto é, pode ser escrito como soma de um vetor de W_{1} e outro de W_{2}):
    • e_{1}=(1,0,0,0)\in W_{1} (toma a=1,c=0,d=0 com b=0).
    • e_{2}=(0,1,0,0)=e_{1}+(-1,1,0,0) com e_{1}\in W_{1} e (-1,1,0,0)\in W_{2}.
    • e_{3}=(0,0,1,0)=(0,-1,1,0)+(0,1,0,0) e já sabemos (0,-1,1,0)\in W_{1} e (0,1,0,0)\in W_{1}+W_{2}, então e_3\in W_{1}+W_{2}.
    • e_{4} obtém-se de modo análogo usando (0,-1,0,1)\in W_{1} e e_{2}.
      Isso confirma que E\subset W_{1}+W_{2} e, portanto, W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.
  • Consequentemente uma base explícita para W_{1}+W_{2} é a base canônica E acima, e \dim(W_{1}+W_{2})=4.

Resposta

(a) \;B_{1}=\{(1,0,0,0),(0,-1,1,0),(0,-1,0,1)\},\quad \dim(W_{1})=3
(b) \;B_{2}=\{(-1,1,0,0),(0,0,2,1)\},\quad \dim(W_{2})=2
(c) \;B_{12}=\{(3,-3,2,1)\},\quad \dim(W_{1}\cap W_{2})=1
(d) \;W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4},\ uma base é \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\},\quad \dim(W_{1}+W_{2})=4

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