1. Determine o posto da matriz:
\left[\begin{array}{lllllll} 1 & 2 & 32 & 4 & 61 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz linha (uma matriz de uma linha e sete colunas)
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 32 & 4 & 61 & 1 & 1\end{bmatrix}.
A pergunta é: determinar o posto (rank) dessa matriz.
Vamos lembrar o que é o posto de uma matriz de forma bem direta e sem jargão: o posto é a dimensão do espaço gerado pelas linhas (espaço das linhas) ou, equivalentemente, pela dimensão do espaço gerado pelas colunas (espaço das colunas). Em palavras: é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.

Passo 2

Para uma matriz que tem apenas uma linha, como é o caso, o espaço das linhas é gerado por esse único vetor-linha
r=\begin{bmatrix}1 & 2 & 32 & 4 & 61 & 1 & 1\end{bmatrix}.
Se esse vetor-linha for o vetor nulo (isto é, se todas as entradas fossem zero), então o espaço das linhas teria dimensão zero. Se ele for diferente do vetor nulo (isto é, se existir ao menos uma entrada não nula), então o espaço das linhas é o conjunto de todos os múltiplos escalares desse vetor e tem dimensão um.
Verifico se o vetor-linha é o vetor nulo: a primeira entrada é \,1, e \,1\ne0. Logo o vetor-linha não é o vetor zero. Pelo raciocínio do passo anterior, o espaço das linhas é gerado por um único vetor não nulo, portanto tem dimensão igual a um.

Passo 3

Posso também ver pelo ponto de vista das colunas: cada coluna desta matriz é um vetor em \mathbb{R}^1 (cada coluna é apenas um número). Em \mathbb{R}^1 qualquer coluna não nula já gera todo o espaço \mathbb{R}^1, ou seja, o espaço das colunas tem dimensão um quando existe pelo menos uma coluna não nula. Aqui existem várias colunas não nulas (por exemplo a primeira coluna é \begin{bmatrix}1\end{bmatrix}), então o espaço das colunas tem dimensão um. Pelo teorema da igualdade dos postos por linhas e colunas, o posto da matriz é essa dimensão.

Passo 4

Assim, tanto pelo ponto de vista das linhas quanto das colunas, a matriz tem posto igual a um.

Resposta

1

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