Seja T: R^4 R^4 uma transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x-w, y-w,-z, z)
A transformação T é injetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificarmos se a transformação linear T: R^4 R^4 , definida por T(x, y, z, w) = (x - w, y - w, -z, z) , é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação linear ser injetora e como verificar isso usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Agora, uma transformação linear é injetora se vetores diferentes no espaço de partida mapeiam para vetores diferentes no espaço de chegada. Em termos mais técnicos, isso significa que o núcleo (ou kernel) da transformação contém apenas o vetor zero.

Passo 3

Então, para verificar se T é injetora, precisamos encontrar o núcleo de T . O núcleo de T é o conjunto de todos os vetores (x, y, z, w) em R^4 que satisfazem T(x, y, z, w) = (0, 0, 0, 0) . Vamos montar as equações a partir da definição de T :
x - w = 0 y - w = 0 -z = 0 z = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da terceira equação, -z = 0 nos dá z = 0 .
  2. A quarta equação também confirma que z = 0 .
  3. Da primeira equação, x - w = 0 implica que x = w .
  4. Da segunda equação, y - w = 0 implica que y = w .
Então, os vetores no núcleo têm a forma (w, w, 0, w) , onde w pode ser qualquer número real.

Passo 5

Para que T seja injetora, o núcleo deve conter apenas o vetor zero, ou seja, w = 0 . No entanto, observamos que existem infinitos vetores no núcleo, pois w pode ser qualquer real. Por exemplo, se w = 1 , temos o vetor (1, 1, 0, 1) que também está no núcleo de T .

Resposta

Não, a transformação T não é injetora, pois o seu núcleo contém mais que apenas o vetor zero.

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