Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificarmos se a transformação linear , definida por , é injetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação linear ser injetora e como verificar isso usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Agora, uma transformação linear é injetora se vetores diferentes no espaço de partida mapeiam para vetores diferentes no espaço de chegada. Em termos mais técnicos, isso significa que o núcleo (ou kernel) da transformação contém apenas o vetor zero.
Passo 3
Então, para verificar se é injetora, precisamos encontrar o núcleo de . O núcleo de é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Vamos montar as equações a partir da definição de :
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da terceira equação, -z = 0 nos dá z = 0 .
A quarta equação também confirma que z = 0 .
Da primeira equação, x - w = 0 implica que x = w .
Da segunda equação, y - w = 0 implica que y = w .
Então, os vetores no núcleo têm a forma (w, w, 0, w) , onde w pode ser qualquer número real.
Passo 5
Para que T seja injetora, o núcleo deve conter apenas o vetor zero, ou seja, w = 0 . No entanto, observamos que existem infinitos vetores no núcleo, pois w pode ser qualquer real. Por exemplo, se w = 1 , temos o vetor (1, 1, 0, 1) que também está no núcleo de T .
Resposta
Não, a transformação T não é injetora, pois o seu núcleo contém mais que apenas o vetor zero.