Determine a dimensão do subespaço gerado por:
v1=(1,1,3), v2=(2,3,6) e v3=(1,4,3).

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores
v1=(1,1,3), v2=(2,3,6), v3=(1,4,3)
Em teoria de espaços vetoriais, a dimensão do subespaço gerado por um conjunto de vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes nele. Para verificar isso, uma forma prática é montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e calcular o posto (rank) por eliminação de Gauss.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas linhas são v1,v2,v3:
A = 1 & 1 & 3 2 & 3 & 6 1 & 4 & 3
Agora aplicamos operações elementares de linha para triangularizar:

Passo 3

Aplicando
R2 R2 - 2,R1, R3 R3 - R1,
obtemos
1 & 1 & 3 0 & 1 & 0 0 & 3 & 0
Em seguida,
R3 R3 - 3,R2
leva a
1 & 1 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 4

A matriz reduzida tem exatamente duas linhas não nulas. Portanto o posto de A é
rank(A) = 2
Como o posto de A equivale ao número de vetores linearmente independentes no conjunto v1,v2,v3, concluímos que a dimensão do subespaço gerado por esses vetores é 2.

Resposta

A dimensão do subespaço gerado por v1,v2,v3 é 2.

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