Sejam beta=(1,0),(0,1) e beta^prime=(1,-1),(0,2) bases ordenadas de R^2. Determine:
A transformação linear T: R^2 R^3 tal que T(1,-1)=(3,3,1) e T(0,2)=(0,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede para achar uma transformação linear
T: R^2to R^3
que leva os vetores da base
beta'=(1,-1),(0,2) em
T(1,-1)=(3,3,1), T(0,2)=(0,-1,0)
O conteúdo aqui é usar que beta' é base de R^2, escrever um vetor genérico em coordenadas de beta' e aplicar a linearidade de T.

Passo 2

Seja (x,y)in R^2. Como beta' é base, existem únicos escalares a,b tais que
(x,y)=a,(1,-1)+b,(0,2)
Comparando componentes, vem
a=x, -,a+2b=y Longrightarrow b=y+a2=y+x2

Passo 3

Pela linearidade de T,
T(x,y) =Tl(a,(1,-1)+b,(0,2)r) =a,T(1,-1)+b,T(0,2)
Substituindo os valores dados,
T(x,y) =a,(3,3,1)+b,(0,-1,0)

Passo 4

Agora trocamos a e b pelas expressões em x,y:
T(x,y) =l(3a,,3a-b,,ar) =l(3x,;3x-tfracx+y2,;xr)
Para simplificar a segunda componente:
3x-x+y2 =6x-(x+y)2 =5x-y2
Logo
T(x,y) =l(3x,;tfrac5x-y2,;xr)

Passo 5

Podemos também escrever a matriz de T na base canônica de R^2 to R^3 como
[T] = 3 & 0 [6pt] 52 & -12 [6pt] 1 & 0 ,
pois
3 & 0 [3pt] tfrac52 & -tfrac12 [3pt] 1 & 0 x y = 3x [3pt] 5x - y2 [3pt] x ]

Resposta

A transformação linear é
T(x,y)=l(3x,;tfrac5x-y2,;xr),
ou, em forma matricial,
[T] = 3 & 0 52 & -12 1 & 0

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