Determine a trasnformação linear e a matriz (nas bases canônicas) assosciada a:
Composição da transformação R(x, y)=(x+2 y,-x+3 y) e S(x, y, z)=(x-z, 2 x+y+z).

Passo 1

O enunciado pede a composição da transformação linear
Scolon R^3to R^2, ;S(x,y,z)=(,x-z,;2x+y+z,)
com a transformação
Rcolon R^2to R^2, ;R(u,v)=(,u+2v,;-u+3v,).
O objetivo é achar a função composta
T = Rcirc Scolon R^3to R^2
e, em seguida, escrever a matriz de T nas bases canônicas.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor imagem pela transformação S. Para (x,y,z)in R^3 temos
S(x,y,z) = (,u,v,) com u = x - z, v = 2x + y + z

Passo 3

Agora aplicamos R ao par (u,v). Por definição,
R(u,v) = l(u + 2v,;-,u + 3vr)

Passo 4

Substituímos u = x - z e v = 2x + y + z em R(u,v):
T(x,y,z) = Rl(S(x,y,z)r) = l((x-z) + 2(2x+y+z),;-(x-z) + 3(2x+y+z)r)

Passo 5

Simplificando cada componente:
Primeira componente
(x-z) + 2(2x+y+z) = x - z + 4x + 2y + 2z = 5x + 2y + z,
Segunda componente
-(x-z) + 3(2x+y+z) = -x + z + 6x + 3y + 3z = 5x + 3y + 4z
Logo
T(x,y,z) = l(5x + 2y + z,;5x + 3y + 4zr)

Passo 6

A matriz associada a T nas bases canônicas de R^3 (domínio) e R^2 (contradomínio) é obtida lendo os coeficientes de x,y,z em cada componente:
[T] = 5 & 2 & 1 [6pt] 5 & 3 & 4 .]

Resposta

A transformação composta é
T(x,y,z) = l(5x + 2y + z,;5x + 3y + 4zr),
e sua matriz nas bases canônicas é
5 & 2 & 1 [4pt] 5 & 3 & 4 .]

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