Determine o ponto do plano 2 x-y+z=1 que seja mais próximo ao ponto (-4,1,3). Qual a menor distancia do ponto ao plano?.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de R^3 mais próximo do ponto P=(-4,1,3) que satisfaça a equação do plano
2x - y + z = 1,
e em seguida a menor distância de P a esse plano. O conteúdo aqui é projeção ortogonal de um ponto em um plano e a fórmula de distância ponto–plano.

Passo 2

Escrevemos a equação do plano na forma
ax + by + cz + d = 0
para identificar o vetor normal n=(a,b,c).
Subtraindo 1 de ambos os lados, temos
2x - y + z - 1 = 0,
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a=2, b=-1, c=1, d=-1,
e o vetor normal é n=(2,-1,1).

Passo 3

Calculamos o valor de
f(P)=a x0 + b y0 + c z0 + d
no ponto P=(x0,y0,z0)=(-4,1,3):
f(P)=2cdot(-4)+(-1)cdot1+1cdot3-1 = -8 -1 +3 -1 = -7

Passo 4

A projeção ortogonal de P no plano é dada por
P' = P ;-; f(P)a^2 + b^2 + c^2;n
Como
a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 6,
segue
P' = (-4,1,3) ;-; -76,(2,-1,1) = (-4,1,3) + l(tfrac76cdot 2,;tfrac76cdot(-1),;tfrac76cdot1r) = l(-tfrac53,,-tfrac16,,tfrac256r)

Passo 5

A distância de P ao plano é
min d = lvert f(P)rvertraiza^2 + b^2 + c^2 = 7raiz6

Resposta

O ponto do plano mais próximo de (-4,1,3) é
l(-tfrac53,-tfrac16,tfrac256r)
e a menor distância ao plano é tfrac7raiz6.

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