O potencial elétrico V em volts no ponto no \mathrm{P}_{0}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) espaço ( xyz ) é dado por \mathrm{V}=100\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}, onde \mathrm{x}, \mathrm{y} e z são dados em centímetros. Qual a taxa de variação de v no instante que passamos por \mathrm{P}_{0}=(2,1,-2) na direção de \mathrm{P}_{1}=(4,3,0) e o valor máximo da derivada direcional. R : -2,14 volts por centimetro.
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=100\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-\tfrac12}
e pede (i) a derivada direcional de V no ponto P_0=(2,1,-2) na direção de P_1=(4,3,0) e (ii) o valor máximo dessa derivada direcional. Vamos usar o conceito de gradiente para obter ambas.
Passo 2
Calculamos o gradiente de V. Como V=100\,r^{-1} com r=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}, temos
A derivada direcional de V em P_0 na direção de P_1 vale aproximadamente -2,14 V/cm, e o valor máximo da derivada direcional é \tfrac{100}{9}\approx11,11 V/cm.