O potencial elétrico V em volts no ponto no \mathrm{P}_{0}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) espaço ( xyz ) é dado por \mathrm{V}=100\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}, onde \mathrm{x}, \mathrm{y} e z são dados em centímetros. Qual a taxa de variação de v no instante que passamos por \mathrm{P}_{0}=(2,1,-2) na direção de \mathrm{P}_{1}=(4,3,0) e o valor máximo da derivada direcional. R : -2,14 volts por centimetro.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=100\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{-\tfrac12}
e pede (i) a derivada direcional de V no ponto P_0=(2,1,-2) na direção de P_1=(4,3,0) e (ii) o valor máximo dessa derivada direcional. Vamos usar o conceito de gradiente para obter ambas.

Passo 2

Calculamos o gradiente de V. Como V=100\,r^{-1} com r=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}, temos
\frac{\partial V}{\partial x} =-100\cdot\tfrac12\,(x^2+y^2+z^2)^{-\tfrac32}\cdot2x =-100\,x\,(x^2+y^2+z^2)^{-\tfrac32},
e de modo análogo para y e z. Logo
\nabla V =-100\,(x^2+y^2+z^2)^{-\tfrac32}\,\langle x,y,z\rangle.

Passo 3

No ponto P_0=(2,1,-2) temos x^2+y^2+z^2=4+1+4=9 e (x^2+y^2+z^2)^{3/2}=27. Portanto
\nabla V(P_0) =-\frac{100}{27}\,\langle 2,1,-2\rangle =\Bigl\langle -\frac{200}{27},-\frac{100}{27},\frac{200}{27}\Bigr\rangle.

Passo 4

O vetor direção de P_0 a P_1 é
\overrightarrow{P_0P_1}=\langle4-2,\,3-1,\,0-(-2)\rangle=\langle2,2,2\rangle
e seu comprimento é \sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3. Assim o vetor unitário é
\mathbf u =\frac1{2\sqrt3}\,\langle2,2,2\rangle =\Bigl\langle\frac1{\sqrt3},\,\frac1{\sqrt3},\,\frac1{\sqrt3}\Bigr\rangle.

Passo 5

A derivada direcional de V em P_0 na direção \mathbf u é
D_{\mathbf u}V(P_0) =\nabla V(P_0)\cdot\mathbf u =\Bigl\langle -\tfrac{200}{27},-\tfrac{100}{27},\tfrac{200}{27}\Bigr\rangle \cdot \Bigl\langle\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}\Bigr\rangle =-\frac{100}{27\sqrt3}.
Numericamente, com \sqrt3\approx1,732,
D_{\mathbf u}V(P_0)\approx -\frac{100}{27\cdot1,732}\approx -2,14
volts por centímetro.

Passo 6

O valor máximo da derivada direcional em P_0 é o tamanho do gradiente:
\|\nabla V(P_0)\| =\frac{100}{27}\,\|\langle2,1,-2\rangle\| =\frac{100}{27}\cdot3 =\frac{100}{9}\approx11,11
volts por centímetro.

Resposta

A derivada direcional de V em P_0 na direção de P_1 vale aproximadamente -2,14 V/cm, e o valor máximo da derivada direcional é \tfrac{100}{9}\approx11,11 V/cm.

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