(Leithold página 1020) Determine as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume possível que possa ser inscrito em um elipsóide x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=9. Suponha que as arestas sejam paralelas aos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede o paralelepípedo retangular de maior volume inscrito no elipsóide
x^{2}+9y^{2}+z^{2}=9
com faces paralelas aos eixos coordenados.
Conteúdo: otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange).

Passo 2

Sejam a, b e c as semi-dimensões do paralelepípedo ao longo dos eixos x, y e z. Então as “faces” tocam o elipsóide nos pontos (\pm a,\,\pm b,\,\pm c), e a condição de inscrição vira
a^{2}+9b^{2}+c^{2}=9.
O volume do paralelepípedo é
V= (2a)(2b)(2c)=8\,a b c.
Para maximizar V sob a restrição, é equivalente maximizar f(a,b,c)=a b c com
g(a,b,c)=a^{2}+9b^{2}+c^{2}-9=0.

Passo 3

Aplicamos multiplicadores de Lagrange:
\nabla f = \lambda\,\nabla g.
Logo,
(bc,\;ac,\;ab) =\lambda\,(2a,\;18b,\;2c).
Isto gera o sistema
\begin{cases} bc = 2\lambda a,\\\ ac = 18\lambda b,\\\ ab = 2\lambda c. \end{cases}

Passo 4

Dividindo as primeiras duas equações:
\frac{bc}{2a} = \frac{ac}{18b} \quad\Longrightarrow\quad 18\,b^{2}c = 2\,a^{2}c \quad\Longrightarrow\quad a^{2}=9\,b^{2} \quad\Longrightarrow\quad a=3b.
Dividindo a primeira e a terceira:
\frac{bc}{2a} = \frac{ab}{2c} \quad\Longrightarrow\quad 2\,b c^{2}=2\,a^{2}b \quad\Longrightarrow\quad c^{2}=a^{2} \quad\Longrightarrow\quad c=a.

Passo 5

Substituímos a=3b e c=a na restrição
a^{2}+9b^{2}+c^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad (3b)^{2}+9b^{2}+(3b)^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad 9b^{2}+9b^{2}+9b^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad 27\,b^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=\tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Então
a=3b=3\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\sqrt3, \quad c=a=\sqrt3.

Passo 6

As dimensões totais do paralelepípedo são
2a=2\sqrt3, \quad 2b=\frac{2}{\sqrt3}, \quad 2c=2\sqrt3.

Resposta

As dimensões do paralelepípedo de volume máximo são
2\sqrt3\;\times\;\frac{2}{\sqrt3}\;\times\;2\sqrt3.

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