(Leithold página 1020) Determine as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume possível que possa ser inscrito em um elipsóide x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=9. Suponha que as arestas sejam paralelas aos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede o paralelepípedo retangular de maior volume inscrito no elipsóide
x^{2}+9y^{2}+z^{2}=9
com faces paralelas aos eixos coordenados.
Conteúdo: otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange).
Passo 2
Sejam a, b e c as semi-dimensões do paralelepípedo ao longo dos eixos x, y e z. Então as “faces” tocam o elipsóide nos pontos (\pm a,\,\pm b,\,\pm c), e a condição de inscrição vira
a^{2}+9b^{2}+c^{2}=9.
O volume do paralelepípedo é
V= (2a)(2b)(2c)=8\,a b c.
Para maximizar V sob a restrição, é equivalente maximizar f(a,b,c)=a b c com
g(a,b,c)=a^{2}+9b^{2}+c^{2}-9=0.
Passo 3
Aplicamos multiplicadores de Lagrange:
\nabla f = \lambda\,\nabla g.
Logo,
(bc,\;ac,\;ab) =\lambda\,(2a,\;18b,\;2c).
Isto gera o sistema
\begin{cases} bc = 2\lambda a,\\\ ac = 18\lambda b,\\\ ab = 2\lambda c. \end{cases}