(2.5) Determine a direção de maior crescimento da função f(r, s, t)=\frac{r+t}{s} no ponto ( 2,-1,2 ). Qual a taxa de variação de f nessa direção? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede a direção de maior crescimento de
f(r,s,t)=\frac{r+t}{s}
no ponto (2,-1,2) e a taxa de variação nessa direção.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional máxima. Vamos calcular \nabla f, avaliá-lo no ponto dado, usar que o gradiente é a direção de maior crescimento e seu módulo é a taxa de variação máxima.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{1}{s}, \quad \frac{\partial f}{\partial s}=-\frac{r+t}{s^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{1}{s}.

Passo 3

Avaliando em (r,s,t)=(2,-1,2), temos r+t=4 e s=-1, logo
\frac{\partial f}{\partial r}(2,-1,2)=-1, \quad \frac{\partial f}{\partial s}(2,-1,2)=-\frac{4}{(-1)^2}=-4, \quad \frac{\partial f}{\partial t}(2,-1,2)=-1.
Portanto
\nabla f(2,-1,2)=(-1,\,-4,\,-1).

Passo 4

A direção de maior crescimento é o versor na direção de \nabla f(2,-1,2). O módulo desse vetor é
\|\nabla f(2,-1,2)\|=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2+(-1)^2} =\sqrt{1+16+1} =\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Logo o versor é
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(2,-1,2)}{\|\nabla f(2,-1,2)\|} =\frac{(-1,\,-4,\,-1)}{3\sqrt{2}}.

Passo 5

A taxa de variação máxima de f no ponto é exatamente o módulo do gradiente nessa direção, isto é,
\|\nabla f(2,-1,2)\|=3\sqrt{2}.

Resposta

A direção de maior crescimento é
\frac{(-1,\,-4,\,-1)}{3\sqrt{2}}
e a taxa de variação de f nessa direção é
3\sqrt{2}.

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