(3,0) Em qual ponto do parabolóide x=y^{2}+z^{2} o plano tangente é paralelo ao plano -x-y+z=2 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede o ponto no paraboloide definido por x=y^2+z^2 cujo plano tangente é paralelo ao plano -x - y + z = 2. Vamos usar superfícies de nível, gradiente e a condição de paralelismo de vetores normais.

Passo 2

Definimos a função de nível
F(x,y,z)=x - y^2 - z^2,
cuja superfície F=0 é exatamente x=y^2+z^2. O gradiente de F é o vetor normal ao plano tangente:
\nabla F(x,y,z)=\bigl(1,\,-2y,\,-2z\bigr).

Passo 3

O plano dado -x - y + z = 2 tem vetor normal
\mathbf{n}=(-1,-1,1). Para que o plano tangente seja paralelo a ele, seu normal \nabla F(x_0,y_0,z_0) deve ser paralelo a \mathbf{n}. Assim existe \lambda\neq0 tal que
\nabla F(x_0,y_0,z_0)=\lambda\,\mathbf{n},
isto é,
(1,\,-2y_0,\,-2z_0)=\lambda\bigl(-1,-1,1\bigr).

Passo 4

Igualando componentes segue:
1=-\lambda\implies \lambda=-1,
-2y_0=-\lambda=1\implies y_0=-\tfrac12,
-2z_0=\lambda=-1\implies z_0=\tfrac12.
Finalmente, como (x_0,y_0,z_0) está no paraboloide,
x_0=y_0^2+z_0^2=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12.

Resposta

O ponto buscado é \bigl(\tfrac12,-\tfrac12,\tfrac12\bigr).

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