(3.0) Encontre a equação do plano tangente à superfície \cos (z) e^{y}+\operatorname{sen}(y) e^{x}=x z+1 no ponto (0,0,2 \pi).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada implicitamente por
\cos(z)e^{y} \;+\;\sin(y)e^{x} \;=\; x\,z \;+\;1
no ponto (0,0,2\pi).
Conteúdo: vamos usar derivadas parciais e o gradiente da função implícita para escrever o plano tangente.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=\cos(z)e^{y}+\sin(y)e^{x}-x\,z-1
de modo que a superfície é F(x,y,z)=0. O plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) vem de
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.

Passo 3

Calculamos
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z) =\underbrace{0}_{\cos(z)e^{y}}+\underbrace{\sin(y)e^{x}}_{\sin(y)e^{x}}-\underbrace{z}_{x\,z} =\sin(y)e^{x}-z.
Em (0,0,2\pi) isso vale
\frac{\partial F}{\partial x}(0,0,2\pi) =\sin(0)e^{0}-2\pi =0-2\pi =-2\pi.

Passo 4

Calculamos
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) =\underbrace{\cos(z)e^{y}}_{\cos(z)e^{y}} +\underbrace{\cos(y)e^{x}}_{\sin(y)e^{x}} -0 =\cos(z)e^{y}+\cos(y)e^{x}.
Em (0,0,2\pi) isso dá
\frac{\partial F}{\partial y}(0,0,2\pi) =\cos(2\pi)e^{0}+\cos(0)e^{0} =1+1 =2.

Passo 5

Calculamos
\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) =\underbrace{-\sin(z)e^{y}}_{\cos(z)e^{y}}+0-\underbrace{x}_{x\,z} =-\sin(z)e^{y}-x.
Em (0,0,2\pi) isso vale
\frac{\partial F}{\partial z}(0,0,2\pi) =-\sin(2\pi)e^{0}-0 =0.

Passo 6

O gradiente no ponto é
\nabla F(0,0,2\pi)=(-2\pi,\;2,\;0).
Logo o plano tangente satisfaz
-2\pi\,(x-0)+2\,(y-0)+0\,(z-2\pi)=0
que simplifica para
-2\pi\,x+2\,y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\pi\,x.

Resposta

y=\pi x

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