Verifique se a função
é diferenciável na origem.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se
é diferenciável na origem
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é definida por soma de valores absolutos das coordenadas.
- O ponto onde se quer testar diferenciabilidade é
.
A pergunta é única e clara: a função
é diferenciável em
?
Passo 2
O que significa “ser diferenciável na origem”? Vou explicar devagar, sem pular etapas.
Dizemos que uma função
é diferenciável em
se existe uma transformação linear
(um mapa do tipo
para alguns números
) tal que
Essa fórmula diz, em palavras simples: perto da origem
deve ser bem aproximada pela expressão linear
, e o erro dessa aproximação deve ser muito menor que a distância
até a origem (o erro é “o pequeno-o” de
).
Duas observações importantes e úteis para a prova:
- Se tal
existe, então necessariamente é dado pelos coeficientes das derivadas parciais em : . Mas não precisamos provar isso aqui, apenas usamos a ideia de que é linear e vale para qualquer direção. - Uma maneira prática de provar que
não é diferenciável é assumir que existe tal e chegar a uma contradição avaliando a condição em direções específicas (por exemplo nas retas e ).
Passo 3
Calculemos alguns valores e limites simples da função ao longo de retas que passam pela origem — isso geralmente revela problemas com diferenciabilidade.
Primeiro note que
Considere um possível
linear escrito como
com
e
números reais que ainda não conhecemos. Se
fosse diferenciável em
, esse
teria que satisfazer a condição do Passo 2.
Agora restringimos a função à reta
. Para pontos
com
perto de
temos
A condição de diferenciabilidade ao longo dessa reta exige que
ou seja
Vamos analisar esse limite separando
e
.
Passo 4
Caso
: temos
. Então
Para que a expressão tenda a
quando
é necessário que
Caso
: temos
. Então
Para que a expressão tenda a
quando
é necessário que
Obtemos uma contradição: a mesma constante
não pode ser simultaneamente
e
. Isso mostra que não existe número
que satisfaça a condição de diferenciabilidade ao longo da reta
. Portanto não existe transformação linear
que faça a aproximação exigida pela definição.
Passo 5
Comentário intuitivo e reforço: o problema vem do ponto de canto do valor absoluto em
. Na direção positiva da
a inclinação é
; na direção negativa a inclinação é
. Uma única transformação linear
não consegue reproduzir essas duas inclinações opostas ao mesmo tempo, por isso a aproximação linear uniforme (em todas as direções) falha. Logo
não pode ser diferenciável na origem.
Se quiser um exercício extra rápido para fixar: tente o mesmo raciocínio ao restringir
à reta
e verá que obriga
a ser
e a ser
ao mesmo tempo — o mesmo tipo de contradição.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem
.