Verifique se a função
f(x, y)=|x|+|y|
é diferenciável na origem.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=|x|+|y|
e pede para verificar se f é diferenciável na origem (0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é definida por soma de valores absolutos das coordenadas.
  • O ponto onde se quer testar diferenciabilidade é (0,0).
A pergunta é única e clara: a função f(x,y)=|x|+|y| é diferenciável em (0,0)?

Passo 2

O que significa “ser diferenciável na origem”? Vou explicar devagar, sem pular etapas.
Dizemos que uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em (0,0) se existe uma transformação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} (um mapa do tipo L(h,k)=a\,h+b\,k para alguns números a,b) tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Essa fórmula diz, em palavras simples: perto da origem f(h,k) deve ser bem aproximada pela expressão linear f(0,0)+L(h,k), e o erro dessa aproximação deve ser muito menor que a distância \sqrt{h^{2}+k^{2}} até a origem (o erro é “o pequeno-o” de \sqrt{h^{2}+k^{2}}).
Duas observações importantes e úteis para a prova:
  • Se tal L existe, então necessariamente L é dado pelos coeficientes das derivadas parciais em (0,0): L(h,k)=f_x(0,0)\,h+f_y(0,0)\,k. Mas não precisamos provar isso aqui, apenas usamos a ideia de que L é linear e vale para qualquer direção.
  • Uma maneira prática de provar que f não é diferenciável é assumir que existe tal L e chegar a uma contradição avaliando a condição em direções específicas (por exemplo nas retas y=0 e x=0).

Passo 3

Calculemos alguns valores e limites simples da função ao longo de retas que passam pela origem — isso geralmente revela problemas com diferenciabilidade.
Primeiro note que
f(0,0)=|0|+|0|=0.
Considere um possível L linear escrito como
L(h,k)=a\,h+b\,k,
com a e b números reais que ainda não conhecemos. Se f fosse diferenciável em (0,0), esse L teria que satisfazer a condição do Passo 2.
Agora restringimos a função à reta y=0. Para pontos (t,0) com t perto de 0 temos
f(t,0)=|t|+|0|=|t|.
A condição de diferenciabilidade ao longo dessa reta exige que
\lim_{t\to0}\frac{f(t,0)-f(0,0)-L(t,0)}{|t|}=0,
ou seja
\lim_{t\to0}\frac{|t|-a\,t}{|t|}=0.
Vamos analisar esse limite separando t>0 e t<0.

Passo 4

Caso t>0: temos |t|=t. Então
\frac{|t|-a\,t}{|t|}=\frac{t-a\,t}{t}=1-a.
Para que a expressão tenda a 0 quando t\to0^+ é necessário que
1-a=0\quad\Rightarrow\quad a=1.
Caso t<0: temos |t|=-t. Então
\frac{|t|-a\,t}{|t|}=\frac{-t-a\,t}{-t}= -\frac{(1+a)t}{t}=-(1+a)= -1 - a.
Para que a expressão tenda a 0 quando t\to0^- é necessário que
-1-a=0\quad\Rightarrow\quad a=-1.
Obtemos uma contradição: a mesma constante a não pode ser simultaneamente 1 e -1. Isso mostra que não existe número a que satisfaça a condição de diferenciabilidade ao longo da reta y=0. Portanto não existe transformação linear L que faça a aproximação exigida pela definição.

Passo 5

Comentário intuitivo e reforço: o problema vem do ponto de canto do valor absoluto em x=0. Na direção positiva da x a inclinação é +1; na direção negativa a inclinação é -1. Uma única transformação linear L não consegue reproduzir essas duas inclinações opostas ao mesmo tempo, por isso a aproximação linear uniforme (em todas as direções) falha. Logo f não pode ser diferenciável na origem.
Se quiser um exercício extra rápido para fixar: tente o mesmo raciocínio ao restringir f à reta x=0 e verá que obriga b a ser 1 e a ser -1 ao mesmo tempo — o mesmo tipo de contradição.

Resposta

A função f(x,y)=|x|+|y| não é diferenciável na origem (0,0).

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