Intuição rápida: cada componente diz como f muda quando se mexe só naquela variável (mantendo as outras fixas). O vetor aponta na direção de maior crescimento de f.
Passo 3
O que é derivada parcial (recapitulando com calma)?
A derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando só x varia e y,z ficam fixos.
Na prática, para polinômios como o nosso, diferenciamos termo a termo tratando as outras variáveis como constantes. Regras úteis:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Se um termo não depende de x (por exemplo y^{2} ou 4y), sua derivada parcial em relação a x é 0.
Derivada de constante vezes variável: \frac{d}{dx}(a x)=a.
Passo 4
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
Escrevo f e identico os termos que dependem de x:f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}}_{\text{depende de }x}+\underbrace{y^{2}}_{0}+\underbrace{z^{2}}_{0}-\underbrace{2x}_{\text{depende de }x}+\underbrace{4y}_{0}-\underbrace{z}_{0}.
Derivando termo a termo em relação a x:\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\bigr)=-2,e os demais termos dão 0.
Portanto\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2.
Passo 5
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo:
Identifico os termos que dependem de y:f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}}_{0}+\underbrace{y^{2}}_{\text{depende de }y}+\underbrace{z^{2}}_{0}-\underbrace{2x}_{0}+\underbrace{4y}_{\text{depende de }y}-\underbrace{z}_{0}.
Derivando termo a termo em relação a y:\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=2y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\bigr)=4.
Portanto\frac{\partial f}{\partial y}=2y+4.
Passo 6
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z} passo a passo:
Identifico os termos que dependem de z:f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}}_{0}+\underbrace{y^{2}}_{0}+\underbrace{z^{2}}_{\text{depende de }z}-\underbrace{2x}_{0}+\underbrace{4y}_{0}-\underbrace{z}_{\text{depende de }z}.
Derivando termo a termo em relação a z:\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\bigr)=2z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(-z\bigr)=-1.
Portanto\frac{\partial f}{\partial z}=2z-1.
Passo 7
Agora monto o gradiente juntando as três componentes calculadas. Lembre que