Encontre o gradiente de
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-z .

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o gradiente de”
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-z .
Informações dadas:
  • A função escalar é f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-z.
  • A tarefa é calcular o gradiente de f, isto é, um vetor cujas componentes são derivadas parciais de f.

Passo 2

O que é o gradiente (de modo prático)?
  • O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável. Em notação:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Intuição rápida: cada componente diz como f muda quando se mexe só naquela variável (mantendo as outras fixas). O vetor aponta na direção de maior crescimento de f.

Passo 3

O que é derivada parcial (recapitulando com calma)?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando só x varia e y,z ficam fixos.
  • Formalmente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
  • Na prática, para polinômios como o nosso, diferenciamos termo a termo tratando as outras variáveis como constantes. Regras úteis:
    • \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
    • Se um termo não depende de x (por exemplo y^{2} ou 4y), sua derivada parcial em relação a x é 0.
    • Derivada de constante vezes variável: \frac{d}{dx}(a x)=a.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
  • Escrevo f e identico os termos que dependem de x: f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}}_{\text{depende de }x}+\underbrace{y^{2}}_{0}+\underbrace{z^{2}}_{0}-\underbrace{2x}_{\text{depende de }x}+\underbrace{4y}_{0}-\underbrace{z}_{0}.
  • Derivando termo a termo em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\bigr)=-2,e os demais termos dão 0.
  • Portanto \frac{\partial f}{\partial x}=2x-2.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo:
  • Identifico os termos que dependem de y: f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}}_{0}+\underbrace{y^{2}}_{\text{depende de }y}+\underbrace{z^{2}}_{0}-\underbrace{2x}_{0}+\underbrace{4y}_{\text{depende de }y}-\underbrace{z}_{0}.
  • Derivando termo a termo em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=2y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4y\bigr)=4.
  • Portanto \frac{\partial f}{\partial y}=2y+4.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z} passo a passo:
  • Identifico os termos que dependem de z: f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}}_{0}+\underbrace{y^{2}}_{0}+\underbrace{z^{2}}_{\text{depende de }z}-\underbrace{2x}_{0}+\underbrace{4y}_{0}-\underbrace{z}_{\text{depende de }z}.
  • Derivando termo a termo em relação a z: \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\bigr)=2z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(-z\bigr)=-1.
  • Portanto \frac{\partial f}{\partial z}=2z-1.

Passo 7

Agora monto o gradiente juntando as três componentes calculadas. Lembre que
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Substituindo as componentes que achamos:
\nabla f(x,y,z)=\left(2x-2,\;2y+4,\;2z-1\right).

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(2x-2,\;2y+4,\;2z-1\right)

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