Se
, determine a direção que torna mínima a derivada direcional de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá
e pede a direção em que a derivada direcional de
no ponto
fica mínima. Isso envolve cálculo de gradiente e a propriedade de que a derivada direcional atinge seu valor mínimo na direção oposta ao gradiente.
Passo 2
Lembrando que a derivada direcional de
na direção unitária
é
e que esse produto é mínimo quando
aponta na direção de
, isto é,
Passo 3
Calculemos o gradiente de
. Para qualquer
,
Em
temos
, logo
Passo 4
A direção oposta ao gradiente é
O módulo desse vetor é
Normalizando, obtemos a direção unitária
Resposta
A direção que torna mínima a derivada direcional de
em
é