Se z=ln (x^2+y^2), determine a direção que torna mínima a derivada direcional de f no ponto (3,4).

Passo 1

O enunciado dá f(x,y)=lnl(x^2+y^2r) e pede a direção em que a derivada direcional de f no ponto (3,4) fica mínima. Isso envolve cálculo de gradiente e a propriedade de que a derivada direcional atinge seu valor mínimo na direção oposta ao gradiente.

Passo 2

Lembrando que a derivada direcional de f na direção unitária u é
Duf(p) = nabla f(p)cdot u,
e que esse produto é mínimo quando u aponta na direção de -nabla f(p), isto é,
umin = -nabla f(p)|nabla f(p)|

Passo 3

Calculemos o gradiente de f. Para qualquer (x,y),
partial fpartial x =1x^2+y^2cdot 2x =2xx^2+y^2, partial fpartial y =2yx^2+y^2
Em (3,4) temos x^2+y^2=9+16=25, logo
nabla f(3,4) =l(tfrac2cdot325,,tfrac2cdot425r) =l(tfrac625,,tfrac825r)

Passo 4

A direção oposta ao gradiente é
-nabla f(3,4) =l(-tfrac625,,-tfrac825r)
O módulo desse vetor é
raizl(tfrac625r)^2+l(tfrac825r)^2 =raiz36+6425 =1025 =25
Normalizando, obtemos a direção unitária
umin =l(-tfrac625,-tfrac825r)tfrac25 =l(-tfrac625cdottfrac52,,-tfrac825cdottfrac52r) =l(-tfrac35,,-tfrac45r)

Resposta

A direção que torna mínima a derivada direcional de f em (3,4) é
boxedl(-tfrac35,, -tfrac45r)

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