Uma função
é tal que
e
para todo
e
.
Mostre que
tem todas as derivadas direcionais na origem, e tem-se
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz
-
, -
para todo e todo .
Queremos mostrar que, para qualquer direção, a derivada direcional de na origem existe e vale . Para isso usaremos a definição de derivada direcional.
Passo 2
A derivada direcional de
na origem na direção
é dada por
Passo 3
Pela condição de homogeneidade temos para todo
Logo, para
,
e portanto