Uma função f: R^n R é tal que f(0)=0 e f(t X)=t cdot f(X) para todo X in R^n e t in R.
Mostre que f tem todas as derivadas direcionais na origem, e tem-se partial fpartial u(0)=f(u).

Passo 1

O enunciado diz que f:R^ntoR satisfaz
  1. f(0)=0,
  2. f(tX)=t,f(X) para todo XinR^n e todo tinR.
    Queremos mostrar que, para qualquer direção uinR^n, a derivada direcional de f na origem existe e vale f(u). Para isso usaremos a definição de derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f na origem na direção u é dada por
partial fpartial u(0) =limhto0f(0+h,u)-f(0)h

Passo 3

Pela condição de homogeneidade temos para todo hinR
f(h,u)=h,f(u)
Logo, para hneq0,
f(h,u)-f(0)h =h,f(u)-0h = f(u),
e portanto
limhto0f(h,u)-f(0)h=f(u)

Resposta

partial fpartial u(0) = f(u)

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