Seja f: R^2 R definida por f(x, y)=x y /(x^2+y^2) se (x, y) neq(0,0) e f(x, y)=0 se (x, y)=(0,0).
Mostre que não existe a derivada direcional de f em X0=(0,0) na direção do vetor unitário u=(a, b), se a b neq 0 ;

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracxyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que não existe a derivada direcional de f em X0=(0,0) na direção do vetor unitário u=(a,b) quando a bneq0. Vamos usar a definição de derivada direcional e verificar se o limite é finito.]

Passo 2

A derivada direcional de f em (0,0) na direção vec u é
Dvec uf(0,0) =limtto0f(0+ta,,0+tb)-f(0,0)t =limtto0f(ta,tb)-0t

Passo 3

Para (x,y)=(ta,tb) com tneq0 temos
f(ta,tb) =(ta)(tb)(ta)^2+(tb)^2 =t^2,abt^2,(a^2+b^2) =aba^2+b^2
Como vec u é unitário, a^2+b^2=1, logo
f(ta,tb)=ab

Passo 4

Substituindo em Dvec uf(0,0):
Dvec uf(0,0) =limtto0abt
Se abneq0, então tfracabt tende a +infty quando tto0^+ (ou a -infty se ab<0), e não há limite finito.

Resposta

A derivada direcional não existe (o limite diverge) sempre que a bneq0.

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