Determine qual a distância entre os dois números complexos -4+i 4 e 5-i 3 e qual está mais próximo da origem. Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos
z1 = -4 + i4
e
z2 = 5 - i3
e pede: (a) a distância entre eles no plano complexo, que é lvert z1 - z2rvert, e (b) qual deles está mais próximo da origem, comparando lvert z1rvert e lvert z2rvert.

Passo 2

Calculamos a diferença
z1 - z2 = (-4 + i4) - (5 - i3) = -4 - 5 + i(4 + 3) = -9 + i7
e daí a distância
lvert z1 - z2rvert = raiz(-9)^2 + 7^2 = raiz81 + 49 = raiz130

Passo 3

Agora o módulo de z1:
lvert z1rvert = raiz(-4)^2 + 4^2 = raiz16 + 16 = raiz32 = 4raiz2approx 5,66

Passo 4

E o módulo de z2:
lvert z2rvert = raiz5^2 + (-3)^2 = raiz25 + 9 = raiz34approx 5,83

Passo 5

Comparando lvert z1rvertapprox 5,66 e lvert z2rvertapprox 5,83, vemos que
lvert z1rvert < lvert z2rvert,
logo o ponto correspondente a -4 + i4 está mais próximo da origem.

Resposta

A distância entre os dois números é raiz130, e o número mais próximo da origem é -4 + i4.

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