Resolva:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente, equações diferenciais exatas ou separáveis. Para resolver, vamos precisar usar integrais e um pouquinho de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Podemos reorganizar os termos assim:
Isso coloca os termos envolvendo
de um lado e os envolvendo
do outro, o que nos ajuda a separar as variáveis.
Passo 3
Agora, como temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Lembre-se que a integral de
é
e a integral de
em relação a
é
. Então:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos simplificar a equação combinando as constantes de integração. Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
para deixar os termos positivos:
Podemos chamar
de constante geral, então reescrevemos:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para determinar o sinal correto da raiz. Calculando
:
Como
, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: