Resolva:
sen(x) d x+y d y=0, y(0)=-2,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: sen(x) , dx + y , dy = 0 com a condição inicial y(0) = -2. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente, equações diferenciais exatas ou separáveis. Para resolver, vamos precisar usar integrais e um pouquinho de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Podemos reorganizar os termos assim:
sen(x) , dx = -y , dy
Isso coloca os termos envolvendo x de um lado e os envolvendo y do outro, o que nos ajuda a separar as variáveis.

Passo 3

Agora, como temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Lembre-se que a integral de sen(x) é -cos(x) e a integral de y em relação a y é 12y^2. Então:
integral sen(x) , dx = integral -y , dy
-cos(x) + C1 = -12y^2 + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Vamos simplificar a equação combinando as constantes de integração. Subtraindo C1 de ambos os lados:
-cos(x) = -12y^2 + C
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar os termos positivos:
cos(x) = 12y^2 - C
Podemos chamar C de constante geral, então reescrevemos:
12y^2 = cos(x) + C

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = -2 para encontrar o valor de C. Substituindo x = 0 e y = -2 na equação:
12(-2)^2 = cos(0) + C
12 times 4 = 1 + C
2 = 1 + C
C = 1

Passo 6

Com o valor de C encontrado, substituímos de volta na equação geral:
12y^2 = cos(x) + 1
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
y^2 = 2(cos(x) + 1)
Para encontrar y, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y = pm raiz2(cos(x) + 1)

Passo 7

Finalmente, aplicamos a condição inicial y(0) = -2 para determinar o sinal correto da raiz. Calculando cos(0) = 1:
y = pm raiz2(1 + 1) = pm raiz4 = pm 2
Como y(0) = -2, escolhemos o sinal negativo:
y = -raiz2(cos(x) + 1)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = -raiz2(cos(x) + 1)

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