Seja z=2 i^3+(4+5 i)(i)^5. Identifique e represente no plano complexo os elementos inversos de z (da adição e da multiplicação), bem como seu conjugado.

Passo 1

O enunciado dá
z = 2,i^3 + (4 + 5,i)(i)^5
e pede o inverso aditivo de z, o inverso multiplicativo de z e o conjugado de z, além de representar cada um deles no plano complexo. Para isso vamos precisar simplificar potências de i, aplicar definições de inverso aditivo ( -z), de inverso multiplicativo ( z^-1) e de conjugado ( z).

Passo 2

Primeiro simplificamos as potências de i:
,i^3 = -i e ,i^5 = i.
Logo o numerador fica
2,i^3 + (4 + 5,i) = 2(-i) + 4 + 5,i = 4 + 3,i
e
z = 4 + 3,ii
Dividindo por i basta multiplicar numerador e denominador por -i, ou lembrar que 1i=-,i. Assim
z = (4+3,i)1i = (4+3,i)(-,i) = -4,i -3,i^2 = -4,i +3 = 3 - 4,i

Passo 3

O inverso aditivo de z é o número que somado a z 0. Por definição
-z = -(3 - 4,i) = -3 + 4,i

Passo 4

O conjugado de z é obtido trocando o sinal da parte imaginária:
z = 3 + 4,i

Passo 5

O inverso multiplicativo de z é o número que multiplicado por z 1. Uma forma rápida de calcular é usar
z^-1 = z|z|^2
Aqui |z|^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25. Logo
z^-1 = 3 + 4,i25 = 325 + 425,i

Passo 6

Representando no plano de Argand (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical), os pontos correspondentes são:
-z = -3 + 4,i no ponto (-3,4).
z = 3 + 4,i no ponto (3,4).
z^-1 = 325 + 425,i no ponto l(tfrac325,tfrac425r).

Resposta

O inverso aditivo de z é
-,z = -3 + 4,i
O conjugado de z é
z = 3 + 4,i
O inverso multiplicativo de z é
z^-1 = 325 + 425,i

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