Determine a distância entre:
e
Passo 1
O enunciado pede a distância entre as duas retas planas (planos) dadas por:
Informações fornecidas:
- A equação de
é . - A equação de
é .
O que se pede: - Calcular a distância entre
e .
Passo 2
Conceito importante que preciso te ensinar: a distância entre duas planos em
depende se eles são paralelos ou não.
- Se dois planos são paralelos (têm o mesmo vetor normal, ou normais proporcionais), então a distância entre eles é positiva e pode ser calculada pela fórmula seguinte. Para dois planos paralelos
a distância é
Aqui
é o vetor normal comum e
é valor absoluto. Essa fórmula mede a separação ao longo da direção do normal.
- Se os planos não são paralelos (ou seja, seus vetores normais não são proporcionais), então os planos se intersectam (em uma reta) e a distância entre eles é zero. Intuição: se se cruzam, existe ponto comum, então a menor distância entre conjuntos é
.
Passo 3
Agora vamos verificar se as retas planas do enunciado são paralelas ou não, encontrando os vetores normais:
- Para
o vetor normal é . - Para
o vetor normal é .
Para serem proporcionais (paralelos) deveria existir
tal que
Comparando coordenadas dá:
Isso exigiria
pela primeira coordenada e
pela segunda, o que é impossível. Logo
e
não são proporcionais.
Passo 4
Conclusão a partir do passo anterior: como os vetores normais não são proporcionais, os planos
e
não são paralelos. Pelo conceito do Passo 2, isso implica que os planos se intersectam em uma reta e, portanto, a distância entre eles é
.
Passo 5
Para tornar isso bem concreto (e te dar uma segurança extra na prova), vou encontrar explicitamente um ponto que pertence a ambos os planos, mostrando a interseção. Resolvemos o sistema
Somando as duas equações para eliminar
e
temos
Substituindo
na segunda equação:
Podemos escolher
(parâmetro livre), então
. O ponto
satisfaz ambas as equações (fizemos a verificação no cálculo), logo pertence à interseção. Como existe ponto comum, a distância entre os dois planos é definitivamente
.]