Determine a distância entre:
\pi_{1}: x+y-z+3=0 e \pi_{2}: 3 x-y+z=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as duas retas planas (planos) dadas por:
\pi_{1}: x+y-z+3=0
\pi_{2}: 3x-y+z=0
Informações fornecidas:
  • A equação de \pi_{1} é \,x+y-z+3=0.
  • A equação de \pi_{2} é \,3x-y+z=0.
    O que se pede:
  • Calcular a distância entre \pi_{1} e \pi_{2}.

Passo 2

Conceito importante que preciso te ensinar: a distância entre duas planos em \mathbb{R}^3 depende se eles são paralelos ou não.
  • Se dois planos são paralelos (têm o mesmo vetor normal, ou normais proporcionais), então a distância entre eles é positiva e pode ser calculada pela fórmula seguinte. Para dois planos paralelos
ax+by+cz+d_1=0 \quad\text{e}\quad ax+by+cz+d_2=0
a distância é
\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui (a,b,c) é o vetor normal comum e |\cdot| é valor absoluto. Essa fórmula mede a separação ao longo da direção do normal.
  • Se os planos não são paralelos (ou seja, seus vetores normais não são proporcionais), então os planos se intersectam (em uma reta) e a distância entre eles é zero. Intuição: se se cruzam, existe ponto comum, então a menor distância entre conjuntos é 0.

Passo 3

Agora vamos verificar se as retas planas do enunciado são paralelas ou não, encontrando os vetores normais:
  • Para \pi_{1}: x+y-z+3=0 o vetor normal é \mathbf{n}_1=(1,1,-1).
  • Para \pi_{2}: 3x-y+z=0 o vetor normal é \mathbf{n}_2=(3,-1,1).
Para serem proporcionais (paralelos) deveria existir \lambda tal que
(3,-1,1)=\lambda(1,1,-1).
Comparando coordenadas dá:
3=\lambda\cdot1,\quad -1=\lambda\cdot1,\quad 1=\lambda\cdot(-1).
Isso exigiria \lambda=3 pela primeira coordenada e \lambda=-1 pela segunda, o que é impossível. Logo \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são proporcionais.

Passo 4

Conclusão a partir do passo anterior: como os vetores normais não são proporcionais, os planos \pi_{1} e \pi_{2} não são paralelos. Pelo conceito do Passo 2, isso implica que os planos se intersectam em uma reta e, portanto, a distância entre eles é 0.

Passo 5

Para tornar isso bem concreto (e te dar uma segurança extra na prova), vou encontrar explicitamente um ponto que pertence a ambos os planos, mostrando a interseção. Resolvemos o sistema
\begin{cases} x+y-z+3=0,\\[4pt] 3x-y+z=0. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar y e z temos
(x+y-z+3)+(3x-y+z)=0+0 \implies 4x+3=0 \implies x=-\tfrac{3}{4}.
Substituindo x=-\tfrac{3}{4} na segunda equação:
3\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)-y+z=0 \implies -\tfrac{9}{4}-y+z=0 \implies z=y+\tfrac{9}{4}.
Podemos escolher y=0 (parâmetro livre), então z=\tfrac{9}{4}. O ponto
\left(-\tfrac{3}{4},\,0,\,\tfrac{9}{4}\right)
satisfaz ambas as equações (fizemos a verificação no cálculo), logo pertence à interseção. Como existe ponto comum, a distância entre os dois planos é definitivamente 0.]

Resposta

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