Determine a distância e medida angular entre os planos
pi1: x-y-z+2=0 e pi2: 2 x+y+z-3=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos pi1:x-y-z+2=0 e pi2:2x+y+z-3=0 e o ângulo entre eles. Vamos usar vetores normais para decidir paralelismo (e, se paralelos, calcular distância fixa) e para obter o ângulo via produto escalar.

Passo 2

Extraímos os vetores normais:
n1 = (1,,-1,,-1), n2 = (2,;1,;1)

Passo 3

Para ver se os planos são paralelos, verificamos se n1 é múltiplo escalar de n2. Não existe lambda tal que (2,1,1)=lambda(1,-1,-1). Logo, os planos não são paralelos e se intersectam, o que implica que a distância entre eles é
distância = 0 â

Passo 4

O ângulo theta entre planos é o ângulo entre n1 e n2. Calculamos
n1cdot n2 = 1cdot2 + (-1)cdot1 + (-1)cdot1 = 2-1-1 = 0,
|n1| = raiz1^2+(-1)^2+(-1)^2 = raiz3, |n2| = raiz2^2+1^2+1^2 = raiz6
Assim,
costheta = |n1cdot n2||n1||n2| = 0raiz3,raiz6 = 0
e daí
theta = arccos(0) = 90^circ

Resposta

A distância entre os planos é 0 e o ângulo entre eles é 90^circ.

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