Encontre a equação reduzida para a esfera tangente ao plano pi: x-2 y+ 2 z-4=0 e com centro C=(0,1,0).
Encontre as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 1

O enunciado pede a esfera de centro C=(0,1,0) que seja tangente ao plano
pi: x - 2y + 2z - 4 = 0
Para obter a equação reduzida dessa esfera, precisamos do seu raio r, que é a distância de C até pi. Em seguida, escrevemos
(x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2 = r^2
e, por fim, encontramos o ponto de tangência como a projeção ortogonal de C sobre pi.

Passo 2

Usamos a fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano ax+by+cz+d=0:
dist=l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2+b^2+c^2
Aqui a=1, b=-2, c=2, d=-4 e (x0,y0,z0)=(0,1,0). Calculamos
a x0 + b y0 + c z0 + d = 1cdot0 + (-2)cdot1 + 2cdot0 -4 = -6,
raiza^2+b^2+c^2 = raiz1+4+4=3,
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r = |-6|3 = 2

Passo 3

Com r=2 e centro C=(0,1,0), a equação reduzida da esfera é
(x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2 = 2^2,
ou seja,
x^2 + (y-1)^2 + z^2 = 4

Passo 4

O ponto de tangência H é a projeção de C sobre pi. Usamos
H = C ;-;a x0 + b y0 + c z0 + da^2+b^2+c^2,(a,b,c)
Substituindo os valores já calculados,
H = (0,1,0) - -69,(1,-2,2) = (0,1,0) + 23,(1,-2,2) = l(tfrac23,,1-tfrac43,,tfrac43r) = l(tfrac23,,-tfrac13,,tfrac43r)

Resposta

Equação da esfera:
x^2 + (y-1)^2 + z^2 = 4
Ponto de tangência:
l(tfrac23,,-tfrac13,,tfrac43r)

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