Determine a interseção entre as retas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a interseção entre duas retas no espaço. O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas. Para resolver, vamos precisar igualar as coordenadas das duas retas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas que nos foram dadas. A reta [r) está definida por:
Aqui, .
A reta está definida por:
Aqui, .

Passo 3

Para encontrar a interseção, precisamos encontrar valores de lambda e mu que façam com que as coordenadas x , y e z das duas retas sejam iguais. Ou seja, temos o seguinte sistema de equações:
1 - lambda = mu -2 + lambda = 1 + mu -1 + 3lambda = 4 - mu

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação:
1 - lambda = mu Rightarrow mu = 1 - lambda
Agora, substituímos mu na segunda equação:
-2 + lambda = 1 + (1 - lambda) -2 + lambda = 2 - lambda lambda + lambda = 2 + 2 2lambda = 4 lambda = 2

Passo 5

Com lambda = 2 , substituímos de volta para encontrar mu :
mu = 1 - 2 = -1

Passo 6

Agora que temos lambda = 2 e mu = -1 , vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo esses valores em qualquer uma das retas. Vamos usar a reta r :
x = 1 - 2 = -1 y = -2 + 2 = 0 z = -1 + 3 times 2 = 5

Resposta

A interseção entre as retas r e s ocorre no ponto (-1, 0, 5) .

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