Encontre as coordenadas de p(x)=2-x+3 x^2 relativo à base B=1,1+x,-1+x^2 de P2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas do polinômio
p(x)=2 - x + 3x^2
na base
B = ,1,;1+x,;-1+x^2
do espaço vetorial P2. O conteúdo aqui é mudança de base em P2: precisamos escrever p(x) como combinação linear dos vetores (polinômios) da base B.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alphacdot1 ;+;betacdot(1+x);+;gammacdot(-1+x^2) ;=;2 - x + 3x^2
Desenvolvendo o lado esquerdo, obtemos
alpha + beta + beta x ;+;(-gamma) + gamma x^2 ;=;(alpha + beta - gamma) ;+;beta,x ;+;gamma,x^2

Passo 3

Comparando coeficientes de 1, x e x^2 em cada membro:
alpha + beta - gamma = 2, beta = -1, gamma = 3

Passo 4

Substituindo beta=-1 e gamma=3 na primeira equação:
alpha + (-1) - 3 = 2 Longrightarrow alpha - 4 = 2 Longrightarrow alpha = 6
Logo os escalares são alpha=6, beta=-1, gamma=3.

Resposta

As coordenadas de p(x) na base B são
(6,,-1,,3)

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