- Determine o(s) ponto(s) da superfície
mais próximo(s) da origem.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da superfície definida por
que ficam mais próximos da origem
.
Para isso, vamos minimizar a distância ao quadrado
Para isso, vamos minimizar a distância ao quadrado
substituindo
. Como
é mais fácil de manipular que
e tem o mesmo ponto de mínimo, vamos trabalhar com
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e igualamos a zero para achar pontos críticos.
Dividindo por 2 em cada equação, obtemos o sistema
Passo 3
Resolvendo
uma observação útil é tentar
. Substituindo
na primeira equação:
isso dá
ou
. Logo as soluções são
Para cada par
calculamos
, obtendo os pontos críticos
Passo 4
Calculamos
em cada candidato:
para :
para
para
e
:
Como
, os pontos mais próximos da origem são
Resposta
Os pontos da superfície mais próximos da origem são
e
.