1. Determine o(s) ponto(s) da superfície z=x y+2 mais próximo(s) da origem.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da superfície definida por
z = xy + 2
que ficam mais próximos da origem (0,0,0).
Para isso, vamos minimizar a distância ao quadrado
D^2 = x^2 + y^2 + z^2
substituindo z=xy+2. Como D^2 é mais fácil de manipular que D e tem o mesmo ponto de mínimo, vamos trabalhar com
f(x,y) = x^2 + y^2 + (xy+2)^2

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a zero para achar pontos críticos.
partial fpartial x = 2x + 2(xy+2),y = 2x + 2xy^2 + 4y ;=;0
partial fpartial y = 2y + 2(xy+2),x = 2y + 2x^2y + 4x ;=;0
Dividindo por 2 em cada equação, obtemos o sistema
x(1+y^2) + 2y = 0, y(1+x^2) + 2x = 0

Passo 3

Resolvendo
x(1+y^2) + 2y = 0, y(1+x^2) + 2x = 0,
uma observação útil é tentar x = -y. Substituindo y=-x na primeira equação:
xl(1+(-x)^2r) + 2(-x) = x(1+x^2)-2x = x(x^2-1)=0
isso dá x=0 ou x^2=1. Logo as soluções são
(x,y) = (0,0),; (1,-1),; (-1,1)
Para cada par (x,y) calculamos z=xy+2, obtendo os pontos críticos
(0,0,2), (1,-1,1), (-1,1,1)

Passo 4

Calculamos D^2 = x^2+y^2+z^2 em cada candidato:
para (0,0,2):
D^2 = 0+0+2^2 = 4
para (1,-1,1) e (-1,1,1):
D^2 = 1+1+1^2 = 3
Como 3<4, os pontos mais próximos da origem são
(1,-1,1)e(-1,1,1)

Resposta

Os pontos da superfície mais próximos da origem são (1,-1,1) e (-1,1,1).

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